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Exercice n01 duree 2 heures

Lycée secondaire Bennane-Bodheur Durée heures Mr Bouhouch Ameur ème Math Coe ?cient N B La qualité de la rédaction la clarté et la précision des raisonnement ontreront pour une part importante lors de l ? appréciation des copies ? Exercice n pts ? A Pour tout entier naturel non nul n soit In e ln x n dx x Montrer que la suite In est décroissante et qu ? elle est convergente a A l ? aide d ? une intégration par parties montrer que I n n I n ?? e b En déduire que pour tout n IN ?? ? In ? puis ne calculer la limite de la suite In a Montrer par récurrence que pour tout ? l i m n b Déduire que n ? k k e n IN ?? on a ? I n n ?? e n k k B Dans cette partie on va démontrer que e est irrationnel ? Soient ? ? les suites Un et Vn dé ?nies par Un n k k et V n U n n n a Montrer que Un est croissante et que Vn est décroissante b Montrer que n lim ? V n e n IN c En déduire que Un e Vn pour tout ?? On suppose que e p tels que p et q sont des entiers naturels q En utilisant l ? inégalité de la question B c Montrer que p ? q ??q ? q ? Uq est un entier appartenant à puis conclure Exercice n pts Le plan est orienté dans le sens direct Dans la page annexe ?gure n on donne un losange AOBC de centre I tel que F ECF EBF ED AO ?? AC F F F F F F ?? ? ? et D le point tel que D SO C Soient J et K les milieux respectifs des segments AD et BD Montrer que le triangle ABD est équilatéral Montrer que le point O est le centre de gravité de chacun des triangles ABD et IJK a Montrer qu ? il existe un seul antidéplacement f qui transforme A en O et C en D b Montrer que f est une symétrie glissante dont on précisera l ? axe et le vecteur Soit g la similitude indirecte tels que g A K et g B I Ca Montrer que le rapport de g est égal à b Déterminer l ? image du triangle ABD par g et déduire que O est le centre de g c Déterminer et construirSe l ? ag xo ef ? de g Soit la transformS atAion S C a Déterminer S et b Montrer que est une homothétie et préciser son rapport c Construire le centre de S Exercice n pts A Soit g la fonction dé ?nie sur ? par g g et x F EBF EC F F F F F ED F F x l n x x si x rr On désigne par sa