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Extrait 2 Chapitre Exponentielle et logarithme népérien L ? étude de fonctions en Terminale est essentiellement basée sur deux fonctions exponentielle et logarithme népérien Il faut donc conna? tre parfaitement leurs dé ?nitions et leurs propriétés pour p

Chapitre Exponentielle et logarithme népérien L ? étude de fonctions en Terminale est essentiellement basée sur deux fonctions exponentielle et logarithme népérien Il faut donc conna? tre parfaitement leurs dé ?nitions et leurs propriétés pour pouvoir traiter les problèmes de BAC Les trois pages qui suivent constituent les connaissances essentielles Elles permettront d ? aborder les trois chapitres suivants qui traiteront de l ? étude de fonctions La fonction exponentielle ? ?La dé ?nition La fonction exponentielle f x ex sur ? est dé ?nie comme la fonction dont la dérivée est elle-même et dont l ? image en vaut D ? o? ex ' ex et e ? ?Le graphique Conna? tre le graphique de la fonction exponentielle permet de conna? tre ses principales caractéristiques On remarque deux notations importantes e e et e- e ? ?Les propriétés algébriques Pour x y ? ? ex ?ey ex y ex ey ex-y ex e- x ex n enx n ? ? ?Équations et inéquations ex ey ssi x y ex ey ssi x y ? Chapitre La fonction logarithme népérien ? ?La dé ?nition La fonction logarithme népérien f x lnx sur est dé ?nie comme la fonction donnant l ? unique solution de l ? équation ey x pour x D ? o? ey x ssi y lnx On a aussi la dérivée de cette fonction lnx ' x ? ?Le graphique Conna? tre le graphique de la fonction logarithme népérien permet de conna? tre ses principales caractéristiques ? ?Les propriétés algébriques Pour x y ln xy lnx lny ln -lnx x ln ç? èçç x y ? ? ? ? ? ? lnx - lny lnxn nlnx n ? ? ?Équations et inéquations Pour x y lnx lny ssi x y lnx lny ssi x y Exponentielle et logarithme népérien ? Les relations entre exponentielle et logarithme Ces deux fonctions sont appelées des fonctions réciproques l ? une élimine ? l ? autre et réciproquement D ? o? les deux relations suivantes ln ex x pour x ? ? elnx x pour x Ces deux relations seront très utiles pour résoudre des équations et inéquations comportant un exponentielle ou un logarithme népérien ? pour faire dispara? tre un exponentielle à gauche faire appara? tre un logarithme à droite ? eX a avec a ssi X lna ? pour faire dispara? tre un logarithme à gauche faire appara? tre un exponentielle à droite ? lnX a ssi X ea Ces deux principes sont bien sûr aussi valables pour résoudre des inéquations ? Chapitre Les exercices corrigés Exercice On considère la fonction f dé ?nie sur par f x e -x Démontrer que pour tout réel x de f x ex ex e Pour montrer que deux quantités A et B sont égales le principe est le suivant partir de A pour aller à B ou partir de B pour aller à A Pour les cas un peu plus compliqué on peut aussi partir de A et de B pour