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3 2 pdf 1 Imprimer Page sur La répartition des valeurs propres des matrices de T ?plitz Nicolas Tosel Notes Tosel Professeur en classe de MP au lycée du Parc Lyon z Partie I INTRODUCTION ET NOTATIONS z Partie II Interprétation de appartenance des à z Part

Imprimer Page sur La répartition des valeurs propres des matrices de T ?plitz Nicolas Tosel Notes Tosel Professeur en classe de MP au lycée du Parc Lyon z Partie I INTRODUCTION ET NOTATIONS z Partie II Interprétation de appartenance des à z Partie III Une inégalité de convexité z Partie IV Le cas o? z Partie V Fin de la démonstration z Partie VI Quelques remarques z Bibliographie Partie I INTRODUCTION ET NOTATIONS Soit le cercle unité du plan complexe Si dans dans on pose On ?xe une fois pour toutes une fonction mesurable et bornée sur à valeurs réelles que l'on note On note resp la borne inférieure resp supérieure de et l'intervalle Le cas évident o? est contante est exclu dans les preuves Pour dans soit le coe ?cient de Fourier d'indice de Si est dans on désigne par la matrice de http www rms-math com print php id article Type enonce Num Mode CImprimer Page sur La matrice valeurs réelles est appelée matrice matrice de T plitz associée à Puisque est à est hermitienne et on peut noter son spectre ordonné Dans plusieurs articles G Szeg? a étudié la répartition de ce spectre lorsque Les deux références principales sont deux textes reproduits dans sous les numéros en hongrois et en allemand Pour énoncer le résultat essentiel de ces travaux on note désormais si est une fonction continue de dans et On a alors le Théorème G Szeg? Les de dans on a sont dans et pour toute fonction continue La méthode de Szeg? part d'une expression du déterminant de permettant d'établir si comme intégrale multiple Cette relation est bien sûr le cas particulier du théorème pour lequel Elle permet d'obtenir le cas général par un argument d'approximation consistant au fond en la densité dans l'espace des fonctions continues nulles en sur normé uniformément du sous-espace engendré par les fonctions pour dans En fait la rédaction de Szeg? est un peu di ?érente de la validité du théorème pour les fonctions précédentes il déduit le cas o? est un polynôme avant de conclure par le théorème d'approximation de Weierstrass On se propose ici d'indiquer une autre preuve du théorème précédent La démarche adoptée ici est partiellement inspirée d'un autre article de Szeg? portant cette fois sur les matrices de Hankel référence - dans Précisément on a conservé de ce dernier article l'idée d'utiliser une inégalité de convexité tout en simpli ?ant un peu la partie approximation ? de la démonstration que dans le travail de Szeg? repose sur la densité dans l'espace susmentionné du sous-espace engendré par les fonctions pour http www rms-math com print php id article Type enonce Num Mode CImprimer Page sur Le paragraphe II interprète géométriquement ce qui rend évidente l'appartenance des à La preuve du théorème est conduite dans les paragraphes III à V selon l'ordre suivant comparaison de et de si est convexe cas particulier o? conclusion Le paragraphe VI est consacré à quelques remarques Partie II Interprétation de appartenance des à