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Chapitre 7 Chapitre Analyse de la variance ANOVA Introduction L ? analyse de la variance ANOVA a pour objectif d ? étudier l ? in uence d ? un ou plusieurs facteurs sur une variable quantitative Nous nous intéresserons ici au cas o? les niveaux ou modalit

Chapitre Analyse de la variance ANOVA Introduction L ? analyse de la variance ANOVA a pour objectif d ? étudier l ? in uence d ? un ou plusieurs facteurs sur une variable quantitative Nous nous intéresserons ici au cas o? les niveaux ou modalités des facteurs sont ?xés par l ? expérimentateur On parle alors de modèle ?xe C ? est la comparaison de moyennes pour plusieurs groupes Il s'agit de comparer la variance intergroupe entre les di ?érents groupes écart des moyennes des groupes à la moyenne totale à la variance intragroupe somme des uctuations dans chaque groupe S'il n'y a pas de di ?érence entre les groupes ces deux variances sont à peu près égales Sinon la variance intergroupe est nécessairement la plus grande L ? ANOVA se résume à une comparaison multiple de moyennes de di ?érents échantillons constitués par les di ?érentes modalités des facteurs Les conditions d ? application du test paramétrique de comparaison de moyennes s ? appliquent donc à nouveau L'analyse de variance analysis of variance ou ANOVA peut être vue comme une généralisation du test de Student On souhaite tester les e ?ets de k traitements qui ont été administrés respectivement à n ? ? ? nk individus En analyse de variance le paramètre susceptible d'in uer sur les données étudiées s'appelle un facteur et ses valeurs sont les modalités ici les di ?érents traitements Dans le modèle probabiliste chaque modalité correspond à un échantillon Pour h ? k on note On cherche à savoir si la variabilité observée dans les données est uniquement due au hasard ou s'il existe e ?ectivement des di ?érences signi ?catives entre les classes imputables au facteur Pour cela on va comparer les variances empiriques de chaque échantillon à la variance de l'échantillon global de taille n ? nk n La moyenne des variances pondérée par les e ?ectifs résume la variabilité à l'intérieur des classes d'o? le nom de variance intra-classes intragroupes ou variance résiduelle La variance des moyennes décrit les di ?érences entre classes qui peuvent être dues au traitement d'o? le nom de variance inter-classes intra-groupes ou variance expliquée On note la moyenne empirique de la -ième classe la variance empirique de la -ième classe la moyenne de l'échantillon global La moyenne des variances variance intra-classes Vintra CLa variance des moyennes variance inter-classes Vinter Alors la variance de l'échantillon global Test d'homogénéité des variances Pour beaucoup de tests paramétriques ANOVA régression l'homogénéité des variances est une condition nécessaire Homogénéité des variances homoscédasticité Plusieurs méthodes existent pour tester l'homogénéité des variances dans plusieurs groupes qui n'ont pas nécessairement le même nombre d'objets Un test très utilisé est le test de Bartlett détaillé ici Ce test est valide si les distributions des objets sont Normales Le test de Bartlett estime si les di ?érentes sous-catégories d'une variable de distribution normale ont la même variance Le test donne un résultat global et ne permet pas d'estimer les di ?érences de variances des sous-catégories deux à