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Notions sur les tenseurs NOTIONS SUR LES TENSEURS ?? Partie Repère cartésien oblique - Covariance et contrevariance Dé ?nitions Soient les vecteurs e ??i o? i de la base d'un repère cartésien oblique Rc ayant son origine en O A tout point P correspond un

NOTIONS SUR LES TENSEURS ?? Partie Repère cartésien oblique - Covariance et contrevariance Dé ?nitions Soient les vecteurs e ??i o? i de la base d'un repère cartésien oblique Rc ayant son origine en O A tout point P correspond un vecteur x ?? P ?? O et un système de trois quantités xi x ?? e ??i réciproquement les trois quantités xi déterminent la covariantes du point P ou composantes covariantes dpuosvieticotenudrux ??p oint P on les appelle coordonnées Le vecteur x ?? peut aussi s'exprimer linéairement en fonction des vecteurs e ??i de la base on écrit x ?? xie ??i o? oi uesctoumnpionsdaicnetedsecsoonmtremvaatriioann teetdounvaepcpteeullrex ??le s coe ?cients xi les coordonnées contrevariantes du point P La justi ?cation des quali ?catifs covariant et contrevariant sera donnée plus loin Relations entre les xi et les xi xi x ?? e ??i x je ??j e ??i gij x j en posant gij e ??i e ??j Il y a correspondance biunivoque entre les xi et les xi et la matrice des gi j est symétrique et inversible de sorte que les x j sont exprimables en fonction des xi xj g ji xi avec g ji cofacteur g gi j o? g est le déterminant de la matrice gi j x ?? xie ??i x j g jie ??i x j e ?? j en posant e ?? j g jie ??i les vecteurs e ?? j sont linéairement indépendants puisque le déterminant D e ?? e ?? e ?? D g i e ??i g j e ??j g k e ??k g i g j g k D e ??i e ??j e ??k ijk g i g j g k g calculé par rapport à Rc est di ?érent de zéro On peut adopter le système des vecteurs e ?? j comme nouvelle base on l'appelle base duale des e ??i On dé ?nit un nouveau repère Rc appelé repère dual de Rc construit sur les vecteurs de la base duale associée au point O gij e ?? j gij g jk e ??k ? i k e ??k e ??i on obtient ainsi les e ??i linéairement en fonction des e ?? j On a les relations e ??i x ?? g ij e ??j x ?? g ij x j xi x ?? xie ??i xi gij e ?? j x j e ?? j e ??i e ?? j e ??i g jk e ??k g jk gik ? i j CCes relations montrent que chaque axe de Rc est perpendiculaire à un plan de coordonnées de Rc et réciproquement chaque axe de formés par Rc et Rc sont dits Rc est perpendiculaire à un supplémentaires De plus le plan de produit coordonnées scalaire e ??i e ??i de i Rc étant les ?xé deux trièdres et non pas ici indice de sommation est égal à l'unité En vue d'harmoniser les symboles nous poserons e ??i e ??j g i j on