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Le passage de l x27 arithmetique a l x27 algebrique dans l x27 enseignement des mathematiques au college

LE PASSAGE DE L'ARITHMETIQUE A L'ALGEBRIQUE DANS L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES AU COLLEGE Troisième partie VOIES DI ATTAQUE ET PROBLEMES DIDACTIQUES Yves Chevallard IREM d'Aix-Marseille - La modélisation comme concept La connaissance antécédente de l'objet d'étude On a montré dans la seconde partie de ce travail Chevallard a en quoi la notion de modélisation pennet de rendre compte de l'activité mathématique Cette notion est fondée sur une distinction classique celle du système à étudier et de ses modèles qui en pennettent l'étude Mais le remaniement qu'on a tenté d'y opérer conduit nous semble-t-il à une notion étendue triplement uni ?catrice Tout d'abord on l'a souligné ibid pp - la perspective proposée pennet de prendre une vision d'ensemble sur l'enseignement des mathématiques depuis la Maternelle jusqu'à l'Université Mais nous nous arrêterons maintenant sur un autre apport peut-être plus frappant encore pour qui se réfère à l'usage aujourd'hui courant du tenne de modélisation la modélisation au sens o? nous employons ce mot peut porter aussi bien sur un système non mathématique ce qui répond à l'emploi usuel du mot que sur un système mathématique C'est là sans doute une a ?mnation qui parce qu'elle semble ignorer les frontières entre les mathématiques et la physique la biologie etc ne plaira ni au physicien ni au biologiste ni encore à tous ceux qui disent pratiquer la modélisation mathématique ? ou avoir recours à elle Que faites-vous diront-ils peut-être de la connaissance - physique ou biologique etc - du système qu'il s'agira de modéliser mathématiquement ? Direz vous - et déjà croyez-vous - que les mathématiques su ?sent à elles seules à mener à bien la mathématisation visée La réponse à cette irritation est que précisément il s'agit d'importer cette inquiétude jusqu'au coeur même du travail mathématique tel du moins que l'Ecole le représente et le réalise traditionnellement S'il est bien vrai que le maniement de l'outil mathématique suppose une connaissance de l'objet - du système - à mathématiser cela n'est pas vrai petit x ? nO pp à - C seulement des systèmes qu'étudient la physique la biologie etc Cela est vrai dès l'étude des systèmes mathématiques les plus simples La mise en rapport du mathématique et du mathématisé Que la chose ne soit pas ordinairement soulignée est évident Le nom englobant de mathématiques et plus encore le substantif singulier mathématique en portent témoignage Cette oblitération semble n'avoir encore que peu d'e ?et tant qu'il y a en quelque sorte homogénéité du système et du modèle Mais dès que la distance de l'un à l'autre s'accro? t dès que par exemple on veut se donner un modèle algébrique d'un phénomène géométrique ou l'inverse alors les choses vont autrement Surgit là en e ?et un hiatus épistémologique celui sur lequel physiciens et biologistes attirent notre attention et qui ne peut manquer d'avoir sa traduction didactique La délimitation du système la construction du modèle la problématique même du travail du modèle prennent appui sur notre connaissance antécédente du domaine de réalité dont il s'agit d'étudier l'un des