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Theorie des semigroups Cours Théorie des semi-groupes pour les étudiants de première année master Pr Dalila Azzam-Laouir Département de Mathématiques Faculté des Sciences Exactes et Informatique Université Mohamed Seddik Benyahia de Jijel juin CTABLE DES

Cours Théorie des semi-groupes pour les étudiants de première année master Pr Dalila Azzam-Laouir Département de Mathématiques Faculté des Sciences Exactes et Informatique Université Mohamed Seddik Benyahia de Jijel juin CTABLE DES MATIÈRES Introduction Rappels Opérateurs linéaires bornés Di ?érents types de Convergence dans L E F Convergence en norme uniforme Convergence ponctuelle Théorèmes de l ? application ouverte et du graphe fermé Opérateurs inversibles L ? opérateur exponentiel Résolvante et spectre d ? opérateurs linéaires Fonctions à valeurs dans un espace de Banach Fonctions abstraites Limite et continuité Di ?érentiabilité et analycité des fonctions abstraites Intégration des fonctions abstraites Espaces Lp Semi-groupes Semi-groupes d ? opérateurs bornés Semi-groupes fortement continus C -semi-groupes Théorème de Hille-Yosida CTABLE DES MATIÈRES Théorème de Lumer-Phillips Un exemple d ? application du théorème de Hille-Yosida CCHAPITRE Introduction Ce cours s ? adresse aux étudiants de première année master Analyse Fonctionnelle Il a pour objectif de donner les dé ?nitions et les propriétés fondamentales des semi-groupes ainsi que leurs applications à la résolution des problèmes de Cauchy abstraits Néanmoins ce cours peut intéresser les étudiants d ? autres disciplines de mathématiques vu qu ? on trouve plusieurs applications de cette théorie non seulement dans la théorie des EDP ou la théorie des processus stochastiques mais les semi-groupes deviennent aujourd ? hui un outil très puissant dans la résolution des équations intégro- di ?érentielles et des équations di ?érentielles fonctionnelles issues de la mécanique quantique et aussi dans la théorie du contrôle Les méthodes utilisant les semi-groupes sont également appliquées aujourd ? hui dans la résolution des équations concrètes qui se produisent dans la dynamique de la population ou dans la théorie du transport Au cours de la préparation de ce manuscrit je me suis essentiellement basée sur les références et Les étudiants peuvent aussi consulter la référence CCHAPITRE Rappels Dans le but de faciliter à l ? étudiant la lecture et la compréhension des preuves des principaux théorèmes du chapitre nous rappelons ici quelques notions de l ? analyse fonctionnelle en particulier des opérateurs mais sans aller loin dans les détails vu que ces notions ont été déjà enseignées dans des modules prérequis Opérateurs linéaires bornés Soit E E et F F deux espace vectoriels normés sur le même corps K R ou C et soit A E ?? ? F un opérateur Pour x ?? E nous adoptons la notation Ax au lieu de A x pour son image On note par D A le domaine de dé ?nition de A i e ? ? D A x ?? E Ax ?? F x ?? E Ax existe Dé ?nition L ? opérateur A D A ? E ?? ? F est dit linéaire si D A est un sous espace vectoriel de E et pour tous x y ?? D A et tous ? ?? K A x ?y Ax ?Ay On note par Im A et Ker A l ? image et le noyau de l ? opérateur A i e ?