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[Table des matières] Logarithme d’un nombre complexe et périodicité de la fonct

[Table des matières] Logarithme d’un nombre complexe et périodicité de la fonction exponentielle complexe par Daniel Duverney Lycée Baggio, Lille 1.Introduction Dans un article récent paru dans la RMS, Daniel Leborgne propose une démonstration très courte de la relation e2i = 1 [5]. Cette démonstration, comme sa consœur plus classique ([2], page 30, [6], page 336, [9], page 2) introduit le nombre par une définition ad hoc, de façon à obtenir, le plus rapidement et le plus élégamment possible, le résultat souhaité. Dans le travail qui suit, j’ai voulu montrer que le nombre s’introduit de manière naturelle lorsqu’on essaie de définir le logarithme d’un nombre complexe à partir du logarithme d’un nombre réel positif. Pour ce faire, la méthode qui paraît la plus naturelle, et que j’ai suivie, consiste à procéder comme pour l’exponentielle, c’est à dire à partir d’une série. Malheureusement, si la série entière de l’exponentielle converge pour tout z, il n’en est pas de même de celle de ln(1 + z). Nous partons donc d’une autre série, donnant lnx, et convergeant pour tout x > 0 (voir proposition 1, §2). Cette série permet de prolonger le logarithme népérien, et c’est en se posant la question de savoir jusqu’où on peut le prolonger qu’apparaissent, assez naturellement, le nombre (voir la formule (7)) et la propriété ei = -1 (proposition 9, §2). Nous procédons donc par prolongement analytique ([1], [2], [3], [6], [9], [10]), mais de la façon la plus élémentaire possible. Nous examinons pour finir si la propriété fondamentale ln(xy) = lnx + lny se prolonge aux valeurs complexes de la variable, et nous démontrons que 2 est la plus petite période de la fonction x eix . Ce travail constitue une introduction assez complète à ce qu’on appelle la détermination principale du logarithme complexe. Pour une autre introduction, on consultera [11] ; pour une présentation plus générale, [2], [3], [6], par exemple ; pour l’aspect historique de la question, [7] et [4]. Afin de faciliter une lecture rapide (et d’inciter le lecteur à la recherche !), le détail des démonstrations a été relégué dans le paragraphe 3, suivant la présentation adoptée par P. Ribenboim dans [8]. Nous supposons connues la fonction exp z = zn⁄n!, z C, et sa propriété fondamentale : ainsi que la fonction Arctan x = 1⁄1 + t2dt = (-1)nx2n+1⁄2n + 1, x R pour la première égalité, x ] - 1,1[ pour la deuxième. 2.Logarithmes des nombres complexes Nous voulons prolonger la fonction réelle x lnx, définie sur ]0,+[, aux valeurs complexes de la variable. Nous cherchons un prolongement sous forme de série. Pour cela, nous commençons par exprimer ln x sous forme de série, pour tout x ]0,+[. On sait que ln 1 + t⁄1 - t = 2 t2n+1⁄2n + 1 si < 1. Posons formellement (c’est à dire sans nous préoccuper de problèmes de convergence) : x = 1 + t ⁄1 - t ; alors t = x - 1⁄x + 1, et nous obtenons formellement : Proposition 1 : x > 0 : On notera que la série (2) converge géométriquement, donc rapidement. On obtient par exemple : Proposition 2 : 10-10 près, on a : Il paraît maintenant logique de remplacer la variable réelle x par la variable complexe z. On obtient : Proposition 3 : La série 1⁄2n + 1 2n+1 converge normalement sur tout compact de C + = {z C⁄Re z > 0}. On pose : Il est clair que log 1 prolonge ln, c ’est à dire que l’on a : Le résultat fondamental est le suivant : Proposition 4 : Peut-on prolonger davantage le logarithme ? La réponse est oui ; elle provient du fait que x ]0, +[, ln x = 2ln( ), et que tout nombre complexe qui n’est pas réel négatif est le carré d’un unique élément de C+. Proposition 5 : Pour tout z C-]R-], il existe un unique élément de C+, noté , tel que ( )2 = z. On a plus précisément : si z = x + iy : Ainsi, nous posons maintenant : Proposition 6 : a. z C -]R - ], exp(log z) = z b. z C + , log z = Log1z c. z C -]R - ], log z = 2log( ). Nous avons donc prolongé le logarithme en une fonction continue (cela résulte des propositions 3 et 5 définies sur C -]R-]. Peut-on prolonger davantage ? Étudions par exemple ce qui se passe au point - 1. On a : Proposition 7 : On a : Ainsi lim z-1 Imz>0 (log z) - lim z-1 Imz<0 (log z)0, et la fonction log n’est pas prolongeable par continuité au point - 1. Plus généralement : Proposition 8 : La fonction log n’est prolongeable par continuité en aucun point ] -,0[. Le prolongement de ln défini par (3) et (6) est donc maximal. Le lecteur comprendra sûrement, au vu de la proposition 7, que je suggère de poser : Le nombre 2i apparaît donc comme le saut de la fonction logarithme complexe lorsqu’elle passe par le point d’affixe - 1. C’est dans ces conditions que nous obtenons la : Proposition 9 : ei = -1, donc e2i = 1. Il nous reste deux points à traiter : a. Montrer que le nombre 2 ainsi obtenu est la plus petite période de la fonction x eix. b. Étudier dans quelle mesure la propriété fondamentale du logarithme ln(xy) = lnx + lny s’étend au logarithme de variable complexe. Nous pouvons d’ores et déjà traiter un cas particulier du point b. Proposition 10 : a R , z C+ : Ce résultat nous permet de retrouver la définition du logarithme proposée par A. Warusfel dans [11] : Proposition 11 : z C - R- : Nous posons alors, pour tout z = x + iy C - R- : Ainsi : Une propriété importante de l’argument ainsi défini est la suivante : Proposition 12 : z C - R-, - < Arg z < . Nous déduisons immédiatement de ce résultat que l’image de C - R- par le logarithme est contenue dans Et il se produit ce à quoi on peut s’attendre maintenant : Proposition 13 : La fonction log est une bijection de C - R- dans D. De la proposition 13, il résulte tout de suite que : et on obtient finalement : Proposition 14 : Le nombre 2 est la plus petite période de la fonction x eix. Proposition 15 : Soient z,z C - R-, et vérifiant Alors : Log(zz) = Log z + Log z. 3.Démonstrations 3.1.Démonstration de la proposition 1 Il est facile de vérifier que, x > 0 ,-1 < x - 1⁄x + 1 < 1. La série 1⁄2n + 1X2n+1 a un rayon de convergence égal à 1. Donc f(x) = 2 1⁄2n + 1 2n+1 est définie et dérivable sur ]0,+[. On a : Par ailleurs f(1) = 0. Donc x ]0,+[, f(x) = lnx. 3.2.Démonstration de la proposition 2 Elle est laissée au lecteur. 3.3.Démonstration de la proposition 3 Cette série converge normalement dès lors que r, avec r < 1. Or en posant z = x + iy, = . Soit K un compact de C+. La fonction z 4x⁄(x + 1)2 + y2 est continue sur K, donc atteint ses bornes. Il existe donc m > 0 tel que : z K : 4x⁄(x + 1)2 + y2 m. Ainsi < 1, z K . 3.4.Démonstration de la proposition 4 Pour x > 0 fixé, considérons : La série dérivée (par rapport à y) converge normalement sur tout compact de R, donc h est dérivable sur R et : Donc la fonction g(y) = exp(h(y)) est dérivable sur R, et sa dérivée logarithmique vaut : Les fonctions g(y) = exph(y) et la fonction y-x + iy ont même dérivée logarithmique. Donc il existe une constante C telle que : Or on a : h(0) = lnx (proposition 1), donc C = 1. La proposition 4 est démontrée : la méthode utilisée, aux notations près, est celle de Daniel Leborgne [5]. 3.5.Démonstration de la proposition 5 Elle est est laissée au lecteur. 3.6.Démonstration de la proposition 6 a. Soit z C -]R -]. Alors : b. Observons d’abord que la relation est vraie si z ]0,+[ ; dans ce cas : On procède ensuite comme dans la proposition 4, en considérant, pour x > 0 fixé, la fonction : La fonction est dérivable sur R (voir proposition 5) et en dérivant par rapport à y la relation ( )2 = z, on obtient facilement : Donc ( ) = i⁄2 . La fonction G est donc dérivable sur R comme composée de fonctions dérivables et : Puisque G(0) = lnx et h(0) = lnx, on a : y R, G(y) = h(y), et le b est démontré. c. On applique b à , qui est élément de C uploads/s3/ 105-a2-pdf.pdf