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BTS 2 Devoir n° 2 maison mardi 7 octobre 2014 Exercice 1 : 10 points Les 3 part

BTS 2 Devoir n° 2 maison mardi 7 octobre 2014 Exercice 1 : 10 points Les 3 parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d’acier pour la construction. Leur diamètre est exprimé en millimètres. Dans cet exercice les résultats approchés sont à arrondir à 10−3 A. Loi normale Une rondelle de ce modèle est conforme pour le diamètre lorsque celui-ci appartient à l’intervalle [89,5 ; 90,5]. 1. On note X1 la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre. On suppose que la variable aléatoire X1 suit la loi normale de moyenne 90 et d’écart-type σ = 0,22. Calculer la probabilité qu’une rondelle prélevée au hasard dans la production soit conforme. 2. L’entreprise désire améliorer la qualité de la production des rondelles : Il est envisagé de modiﬁer le réglage des machines produisant les rondelles. On note D la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée dans la production future, associera son diamètre. On suppose que la variable aléatoire D suit une loi normale de moyenne 90 et d’écart-type σ1. Déterminer σ1 pour que la probabilité qu’une rondelle prélevée au hasard dans la production future soit conforme pour le diamètre soit égale à 0,99. B. Loi binomiale On note E l’évènement : « une rondelle prélevée au hasard dans un stock important a un diamètre défectueux ». On suppose que P (E) = 0,02. On prélève au hasard quatre rondelles dans le stock pour vériﬁcation de leur diamètre. Le stock est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de quatre rondelles. On considère la variable aléatoire Y1 qui à tout prélèvement de quatre rondelles associe le nombre de rondelles de ce prélèvement ayant un diamètre défectueux. 1. Justiﬁer que la variable aléatoire Y1 suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, deux rondelles aient un diamètre défectueux. 3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus une rondelle ait un diamètre défectueux. C. Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson Une chaîne de supermarché achète les rondelles par lot de 25. On prélève au hasard un lot de 25 rondelles dans un dépôt de l’usine. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 25 rondelles. On considère la variable aléatoire Y2 qui, à tout prélèvement de 20 rondelles, associe le nombre de rondelles non conformes parmi ces 20 rondelles. On admet que la variable aléatoire Y2 suit la loi binomiale de paramètres n = 25 et p = 0,02. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire Y2 par une loi de poisson notée X2 1. Déterminer le paramètre λ de cette loi de poisson. 2. Calculer, en détaillant les calculs à l’aide du formulaire, la probabilité qu’il y ait au plus 2 rondelles non conformes dans le lot de 25 rondelles, c’est à dire calculer P(X ⩽2). D. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale Les rondelles sont commercialisées par lot de 1 000. On prélève au hasard un lot de 1 000 dans un dépôt de l’usine. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 1 000 rondelles. On considère la variable aléatoire Y3 qui, à tout prélèvement de 1 000 rondelles, associe le nombre de rondelles non conformes parmi ces 1 000 rondelles. On admet que la variable aléatoire Y3 suit la loi binomiale de paramètres n = 1000 et p = 0,02. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire Y3 par la loi normale de moyenne 20 et d’écart-type 4,43. On note X3 une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 20 et d’écart-type 4,43. Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 1 BTS 2 Devoir n° 2 maison mardi 7 octobre 2014 1. Justiﬁer les paramètres de cette loi normale. 2. Calculer la probabilité que le nombre de rondelles non conformes dans le lot de 1 000 rondelles soit compris entre 15 et 30. 3. Calculer la probabilité qu’il y ait au plus 10 rondelles non conformes dans le lot de 1 000 rondelles. Exercice 2 : 10 points Étude d’une fonction Soit f la fonction déﬁnie sur R par f (x) = (x −1)e2x Sa courbe représentative C est donnée dans le repère de l’annexe (à rendre avec la copie). 1. a. Calculer lim x→+∞f (x) b. Calculer lim x→−∞f (x). c. Interpréter géométriquement le résultat obtenu au b). 2. a. Démontrer que, pour tout x de R, f ′(x) = (2x −1)e2x b. Résoudre dans R l’inéquation f ′(x) ⩾0. c. En déduire le tableau de variation de f sur R. 3. a. Donner les valeurs de f (0) et f ′(0) b. En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0. c. Tracer T dans le repère de l’annexe. ANNEXE O − → i − → j 1 1 x y Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 2 Corrigé Exercice 1 : A. Loi normale Une rondelle de ce modèle est conforme pour le diamètre lorsque celui-ci appartient à l’intervalle [89,5 ; 90,5]. 1. La variable aléatoire X1 suit la loi normale de moyenne 90 et d’écart-type σ = 0.22. La probabilité qu’une rondelle prélevée au hasard dans la production soit conforme est donc P(89.5 < X < 90.5). A l’aide de la calculatrice, nous trouvons P(89.5 < X < 90.5) = 0.977 2. On suppose que la variable aléatoire D suit une loi normale de moyenne 90 et d’écart-type σ1. La probabilité qu’une rondelle prélevée au hasard dans la production future soit conforme pour le diamètre soit égale à 0,99 signiﬁe P(89,5 ≤D ≤90,5) = 0,99 or 89,5 ≤D ≤90,5 ⇔89,5 −90 σ1 ≤D −90 σ1 ≤90,5 −90 σ1 ⇔−0,5 σ1 ≤D −90 σ1 ≤0,5 σ1 donc P(89,5 ≤D ≤90,5) = 0,99 ⇔P −0,5 σ1 ≤Z ≤0,5 σ1 ! = 0,99 Nous en déduisons que 2π 0,5 σ1 ! −1 = 0,99 ⇔2π 0,5 σ1 ! = 1,99 ⇔π 0,5 σ1 ! = 0,995 Le tableau de la loi normale nous permet alors de trouver 0,5 σ1 = 2,58 d’où σ1 = 0,5 2,58 = 0,194. B. Loi binomiale 1. La variable aléatoire Y1 suit une loi binomiale car on considère que les tirages sont avec remise donc indépendants. Les paramètres sont n = 4 et p = 0,02. 2. La probabilité que, dans un tel prélèvement,2 rondelles aient un diamètre défectueux. P(Y1 = 2) = C2 4 × (0.02)2 × (0.98)2 = 0.002 à 10−3 près. 3. La probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus une rondelle ait un diamètre défectueux est P(Y1 ≤1) = 0.998 à 10−3 près. C. Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson On admet que la variable aléatoire Y2 suit la loi binomiale de paramètres n = 25 et p = 0,02. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire Y2 par une loi de poisson notée X2 1. Le paramètre λ de cette loi de poisson est égal à la moyenne de la variable Y2 λ = n.p = 25 × 0,02 = 0,5 . 2. La probabilité qu’il y ait au plus 2 rondelles non conformes dans le lot de 25 rondelles est P(X ⩽2) = P(X2 = 0) + P(X2 = 1) + P(X2 = 2) = 0,6065 + 0,3032 + 0,0758 = 0,986 à 10−3 près. D. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale On admet que la variable aléatoire Y3 suit la loi binomiale de paramètres n = 1000 et p = 0,02. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire Y3 par la loi normale de moyenne 20 et d’écart-type 4,43. On note X3 une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 20 et d’écart-type 4,43. 1. La moyenne de la loi X3 est égale à la moyenne de la loi Y3 : m = n.p = 1000×0,02 = 20. L’écart-type de la loi X3 est égale à l’écart-type de la loi Y3 : σ = √n.p.q = √ 1000 × 0,02 × 0,98 = 4,43. 2. La probabilité que le nombre de rondelles non conformes dans le lot de 1 000 rondelles soit compris entre 15 et 30 est P(15 < X < 30) = 0.859. 3. La probabilité qu’il y ait au plus 10 rondelles non conformes dans le lot de 1 000 rondelles est P(X3 < 10) = 0.012. Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 3 Corrigé Exercice 2 : Soit f la fonction déﬁnie sur R par f (x) = (x −1)e2x 1. a. Limite en +∞: Nous savons que lim x→+∞(x −1) = +∞ et lim x→+∞e2x + ∞ donc lim x→+∞f (x) = +∞. b. Limite en −∞: En écrivant f (x) = xe2x −e2x lim x→−∞xe2x = lim x→+∞−xe−2x = lim x→+∞−x e2x or lim x→+∞= e2x x = +∞donc lim x→+∞ x e2x = 0 d’où lim x→−∞xe2x = 0 uploads/s3/ a-loi-normale-bernard-gault-lycee-blaise-pascal-segre.pdf