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MATHÉMATIQUES SPÉCIALES MP3 SEMAINE N°13 ET 14 7 ET 14 DÉCEMBRE 2017 TD N° 11: Electromagnétisme TD N° 11: ELECTROMAGNÉTISME Equations de Maxwell et énergie du champ électromagnétique - Révisions de l’induction (MPSI) EQUATIONS DE MAXWELL EN RÉGIME STATIONNAIRE     EXERCICE N°1: Etude d’un supraconducteur: modèle classique de l’effet Meißner Un modèle microscopique de la conduction électrique dans un matériau supraconduc- teur conduit à poser l’équation de London (1935) liant le champ magnétique − → B au vecteur densité de courant volumique − → j : − − → rot h− → j i = − − → B µ0λ2 avec λ = s m µ0nq2 constante de London n étant le nombre de charge de charge q, de masse m par unité de volume. – Quelle est la dimension de λ? Calculer sa valeur numérique pour n = 1029 m−3, q = 1,6.10−19 C, m = 9,1.10−31 kg, µ0 = 4π.10−7 H.m−1. — Une plaque supraconductrice est plongée dans un champ magnétique uniforme − → B 0 = B0 · − → ex. Cette plaque occupe la zone −d ≤z ≤+d. Le champ magnétique à l’extérieur de la plaque n’est pas modifié par la présence de celle-ci. a· Etablir l’équation régissant les variations du champ magnétique au sein du matériau supraconducteur. b· En déduire la répartition du champ magnétique lorsque la plaque est présente, et représenter les variations de son amplitude en fonction de l’abscisse z pour d = λ et d = 10λ. c· Quelle est la densité volumique de courant électrique − → j dans le matériau? Représenter les variations de son amplitude en fonction de z pour d = λ et pour d = 10λ. Commenter. On donne l’identité vectorielle suivante: − − → rot[− − → rot] = − − − − → grad[di v]−− → ∆     EXERCICE N°2: Plasma et potentiel écranté Un plasma est constitué d’ions (charge +q) et d’électrons (charge −q). En un point M à la distance r d’un ion O, pris comme origine, le potentiel qui règne est V (r), et les densités volumiques de charges positives et négatives sont respectivement : ½ ρ+ = ρ0e−aV (r) ρ−= −ρ0e+aV (r) où ρ0 et a désignent des constantes à une température donnée. – A haute température, correspondant à une fusion thermonucléaire contrôlée, on a : a ·V (r) << 1 a· Montrer, en réalisant le changement de variable u = r ·V (r) , que l’on a : V (r) = q 4πǫ0r e−λ·r potentiel de Yukawa où λ est une fonction de ρ0 et a (on utilisera l’équation de Poisson1) et on veillera à développer à l’ordre 1 des densités volumiques de particules. b· En déduire la densité volumique de charge ρ(r) en M. 1On donne l’expression de l’opérateur Laplacien scalaire en coordonnées sphériques pour des fonctions de r uniquement: ∆V (r) = 1 r · d2 (r ·V (r)) dr 2 LYCÉE MICHEL MONTAIGNE GRAYE JEAN-LAURENT 1 / 6 Année 2017-2018 MATHÉMATIQUES SPÉCIALES MP3 SEMAINE N°13 ET 14 7 ET 14 DÉCEMBRE 2017 TD N° 11: Electromagnétisme — En déduire : a· Le champ électrique au point M. b· La charge Q(r) contenue dans une sphère de centre O et de rayon r ; cas asymp- totiques ? Conclusion ? c· La charge diffuse (électronique) répartie dans la sphère de centre O et de rayon r. ˜ Calculer la densité radiale dQ dr de charge. Montrer qu’il y a un maximum de charge négatives à la distance 1 λ de l’ion O. ™ Que vous inspire cette approche classique de la structure de l’atome? Commenter en particulier le résultat de la question précédente. EQUATIONS DE MAXWELL EN RÉGIME QUELCONQUE ENERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE     EXERCICE N°3: Courants de Foucault dans un disque: principe des plaques à induction en ARQS On considère le fond d’une casserole en cuivre de centre O de rayon R et d’épaisseur e, posée sur un dispositif de chauffage à induction imposant un champ uniforme mais vari- able d’expression: − → B (t) = B0 ×cos(ω t)·− → ez Ce champ s’exercice uniquement sur une partie du fond de la casserole de rayon r, avec donc r < R. On négligera dans l’exercice le champ magnétique induit engendré par les courants in- duits. – Par des considérations géométriques simples, déterminer la forme des lignes de champ induit, et donc les lignes des courants de Foucault. En déduire la di- rection, et les variables du vecteur den- sité volumique de courant − → j — En vous appuyant sur la loi d’Ohm locale montrer que les courants de déplacement sont négligeables par rapport aux courants de conduction dans la mesure où la fréquence reste "raisonnable" (domaine ARQS). A l’aide de l’équation de Maxwell-Faraday déter- miner complètement l’expression du vecteur densité volumique de courant. ˜ En vous appuyant sur l’expression de la puissance volumique dissipée par effet Joule, soit: P volJ = −− → j ·− → Em déterminer la puissance instantanée P dissipée par effet Joule dans le disque, puis sa valeur moyenne < P >. ™ Calculer numériquement cette puissance en prenant les valeurs suivantes:                  B0 = 0,1 T γ = 6.107 S.m−1 e = 2 mm r = 10 cm R = 20 cm ω = 2π×50 rad.s−1     EXERCICE N°4: Résistance de fuite dans un condensateur cylindrique Un système électrique cylindrique, de hauteur h, est constitué de deux cylindres mé- talliques coaxiaux de rayons R1 et R2 avec R1 < R2. Initialement, le cylindre intérieur reçoit une charge Q et le cylindre extérieur une charge nulle. Le milieu qui les sépare pos- sède une permittivité diélectrique et une perméabilité magnétique assimilables à celles du vide (ǫ0 et µ0), mais il est légèrement conducteur. On le supposera ohmique et de conductivité γ. LYCÉE MICHEL MONTAIGNE GRAYE JEAN-LAURENT 2 / 6 Année 2017-2018 MATHÉMATIQUES SPÉCIALES MP3 SEMAINE N°13 ET 14 7 ET 14 DÉCEMBRE 2017 TD N° 11: Electromagnétisme Dans tout l’exercice, les effets de bords sont négligés: tout se passe comme si les cylindres, de hauteur h étaient infinis dans cette direction. – Vers quel état final le système évolue-t-il? Déterminer le champ électrique à l’instant initial et à l’instant final. Que vaut le champ magnétique à tout instant? — En déduire la variation d’énergie électromagnétique associée à cette transformation. ˜ Quelle est la valeur du vecteur de Poynting au cours de cette transformation? Que peut-on en conclure quant à la variation de l’énergie électromagnétique cal- culée à la question précédente? ™ Déterminer le vecteur densité volumique de courant électrique à tout instant. š En déduire l’énergie dissipée par effet Joule dans le système. Vérifier les conclusions établies au 3.) en exploitant les résultats obtenus en 1.) et 4.) .     EXERCICE N°5: Distribution de courant dans une plaque NB: on rappelle l’expression de l’opérateur dérivée temporelle en notation complexe ∂ ∂t = jω×. On considère une plaque métallique d’épaisseur 2a et de très grande dimension suivant les axes [Ox) et [Oy). On fera donc l’approximation d’une plaque infinie suivant ces deux directions. L’origine des axes est choisie au milieu de la plaque. Nous considérons une situation fictive où existe en tout point de la plaque une distribution volumique initiale donnée par la loi: − → J0(z,t) = J0 |z| a cosωt ·− → ex z x y O z x y b O − → J0(z,t) −a +a On notera γ la conductivité électrique du matériau et on admettra que la loi d’Ohm locale est satisfaite. Cette distribution de courant est à l’origine d’un champ magnétique − → B 1 qui induit un champ électrique − → E2, lequel induit à son tour un champ magnétique − → B3, ...... Tous les champs demandés seront calculés au sein de la plaque. – Faire l’analyse des symétries et en déduire l’expression complexe B1 du champ mag- nétique engendré par la distribution de courant «initiale». — Le champ magnétique − → B 1 variable est à l’origine d’un champ électrique − → E2. Déter- miner l’expression complexe de − → E2 de ce champ. ˜ Le champ − → E 2 est à son tour responsable d’un champ magnétique − → B 3 qui engendre à son tour un champ électrique − → E 4, ..... Déterminer les grandeurs − → B3 et − → E4.     EXERCICE N°6: Impulsion du champ électromagnétique Le champ électrique d’une onde plane sinusoïdale qui se propage dans le vide dans la direction de l’axe [Oz) a la forme suivante: − → E (z,t) = E0 ·cos(ωt −kz)·− → ex (polarisation selon l’axe − → ex) – Exprimer le champ magnétique − → B oscillant associé, dans cette onde, au champ éle- crique précédent. Il interviendra une constante d’intégration que l’on prendra nulle par convention (i.e. pas de champ magnétique statique dans ce problème) LYCÉE MICHEL uploads/s3/ equations-de-maxwell-energetique-du-champ-electromagnetique-exercices.pdf

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Administrationchamp magnétique cette courant électrique
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