Agrégation externe de mathématiques Concours externe de l'agrégation du second

Agrégation externe de mathématiques Concours externe de l'agrégation du second degré Section mathématiques Programme de la session 2022 Le programme des épreuves de l'agrégation n'est pas rédigé comme un plan de cours. Il décrit un ensemble de connaissances que le candidat doit maîtriser et savoir illustrer. Il comporte des répétitions lorsque des notions interviennent naturellement suivant diérents points de vue. Le programme évoque parfois des exemples ; ceux-ci sont donnés à titre purement indicatif et peuvent être remplacés par d'autres qui seraient également pertinents. Dans les titres 1 à 5 qui suivent, tous les corps (notés K en général) sont supposés commutatifs. 1 Algèbre linéaire 1.1 Espaces vectoriels (a) Espaces vectoriels, applications linéaires. Produit d'espaces vectoriels. Sous-espaces, image et noyau d'une application linéaire. Espaces quotients. Somme de sous-espaces, somme directe, supplémentaires. Familles libres, familles génératrices ; bases. Algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel E, groupe linéaire GL(E). (b) Sous-espaces stables d'un endomorphisme. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres. Polynômes d'endomorphismes. Lemme des noyaux. (c) Représentations linéaires d'un groupe. Irréductibilité. En dimension nie : exemples de décompo- sition d'une représentation linéaire en somme directe de sous-représentations, lemme de Schur. 1.2 Espaces vectoriels de dimension nie (a) Espaces vectoriels de dimension nie. Existence de bases : isomorphisme avec Kn. Existence de supplémentaires d'un sous-espace. Rang d'une application linéaire, rang d'un système de vecteurs. Espace dual. Rang d'un système d'équations linéaires. Transposée d'une application linéaire. Base duale. Bidualité. Orthogonalité. (b) Applications multilinéaires. Déterminant d'un système de vecteurs, d'un endomorphisme. Groupe spécial linéaire SL(E). Orientation d'un R-espace vectoriel. (c) Matrices à coe cients dans un anneau commutatif. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, déterminant, inversibilité. Matrices à coe cients dans un corps. Rang d'une matrice. Représentations matricielles d'une application linéaire. Changement de base. Méthode du pivot de Gauss. Notion de matrices échelonnées. Applications à la résolution de systèmes d'équations linéaires, au calcul de déterminants, à l'inversion des matrices carrées, à la détermination du rang d'une matrice, à la détermination d'équations dé nissant un sous-espace vectoriel. (d) Polynôme caractéristique. Polynômes annulateurs, polynôme minimal. Théorème de Cayley- Hamilton. Diagonalisation, trigonalisation. Endomorphismes nilpotents. Sous-espaces caracté- ristiques, décomposition de Dunford. Exponentielle des matrices réelles ou complexes. c ⃝www.devenirenseignant.gouv.fr page 1 Agrégation externe de mathématiques 2 Groupes Les diérentes notions de théorie des groupes introduites dans les paragraphes suivants sont appelées à être illustrées et appliquées dans des situations géométriques. (a) Groupes, morphismes de groupes. Produit direct de groupes. Sous-groupes. Sous-groupe engendré par une partie. Ordre d'un élément. Sous-groupes distingués (ou normaux), groupes quotients. Action d'un groupe sur un ensemble. Stabilisateur d'un point, orbites, espace quotient. Formule des classes. Classes de conjugaison. Application à la détermination des groupes d'isométries d'un polytope régulier en dimension deux et trois. (b) Groupes cycliques. Groupes abéliens nis. Groupe des racines complexes n-ièmes de l'unité, racines primitives. (c) Groupe des permutations d'un ensemble ni. Décomposition d'une permutation en produit de transpositions, en produit de cycles à supports disjoints. Signature. Groupe alterné. Application : déterminants. (d) Dé nition des groupes classiques d'automorphismes d'un espace vectoriel de dimension nie : groupe général linéaire, groupe spécial linéaire ; groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal ; groupe unitaire, groupe spécial unitaire. (e) Représentations d'un groupe ni sur un C-espace vectoriel. Cas d'un groupe abélien. Orthogonalité des caractères irréductibles. Groupe dual. Transformée de Fourier. Convolution. Cas général. Théorème de Maschke. Caractères d'une représentation de dimension nie. Fonctions centrales sur le groupe, base orthonormée des caractères irréductibles. Exemples de représentations de groupes de petit cardinal. 3 Anneaux, corps et polynômes (a) Anneaux (unitaires), morphisme d'anneaux, sous-anneaux. L'anneau Z des entiers relatifs. Pro- duit d'anneaux. Idéaux d'un anneau commutatif, anneaux quotients, idéaux premiers, idéaux maximaux. Théorème chinois. Notion d'algèbre (associative ou non) sur un anneau commutatif. (b) Algèbre des polynômes à une ou plusieurs indéterminées sur un anneau commutatif. Racines d'un polynôme, multiplicité. Relations entre les coe cients et les racines d'un polynôme scindé. Sommes de Newton. Polynôme dérivé. Décomposition en somme de polynômes homogènes. Polynômes symétriques. (c) Corps, sous-corps. Caractéristique, morphisme de Frobenius. Extension de corps. Corps des fractions d'un anneau intègre. Le corps Q des nombres rationnels. Le corps R des nombres réels. Le corps C des nombres complexes. Théorème de d'Alembert-Gauss. Éléments algébriques et transcendants. Extensions algébriques. Corps algébriquement clos. Corps de rupture et corps de décomposition. Corps nis. (d) Divisibilité dans les anneaux commutatifs intègres. Éléments irréductibles, éléments inversibles, éléments premiers entre eux. Anneaux factoriels. Plus grand diviseur commun, plus petit multiple commun. Factorialité de A[X] quand A est un anneau factoriel. Anneaux principaux. Théorème de Bé- zout. Anneaux euclidiens. Algorithme d'Euclide. Cas de l'anneau Z et de l'algèbre K[X] des polynômes sur le corps K. Polynômes irréductibles. Exemples : polynômes cyclotomiques dans Q[X], critère d'Eisenstein. (e) Congruences dans Z. Nombres premiers. Étude de l'anneau Z/nZ et de ses éléments inversibles, fonction indicatrice d'Euler. (f) Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps. Décomposition en éléments simples. Cas réel et complexe. c ⃝www.devenirenseignant.gouv.fr page 2 Agrégation externe de mathématiques 4 Formes bilinéaires et quadratiques sur un espace vectoriel (a) Formes bilinéaires. Formes bilinéaires alternées. Formes bilinéaires symétriques, formes quadra- tiques, forme polaire d'une forme quadratique (en caractéristique diérente de 2). Éléments or- thogonaux, interprétation géométrique. Formes non dégénérées. Adjoint d'un endomorphisme. Représentation matricielle, changement de base. Rang d'une forme bilinéaire. (b) Orthogonalité. Sous-espaces isotropes. Décomposition d'une forme quadratique en somme de carrés. Théorème d'inertie de Sylvester. Classi cation dans le cas de R ou C. Procédés d'orthogonalisation. (c) Espaces vectoriels euclidiens, espaces vectoriels hermitiens. Isomorphisme d'un espace vectoriel euclidien avec son dual. Supplémentaire orthogonal. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Norme. Bases orthonormales. (d) Groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal. Exemple de générateurs du groupe orthogonal : décomposition d'un automorphisme orthogonal en produit de ré exions. Endomorphismes sy- métriques, endomorphismes normaux. Diagonalisation d'un endomorphisme symétrique. Décom- position en valeurs singulières d'une matrice à coe cients réels. Réduction simultanée de deux formes quadratiques réelles, l'une étant dé nie positive. Décomposition polaire dans GL(n, R). Espaces vectoriels euclidiens de dimension deux, classi cation des éléments de O(2, R). Espaces vectoriels euclidiens de dimension trois, classi cation des éléments de O(3, R) ; produit mixte, produit vectoriel. (e) Groupe unitaire, groupe spécial unitaire. Diagonalisation des endomorphismes normaux. Décom- position polaire dans GL(n, C). 5 Géométries a ne et euclidienne Tous les espaces considérés dans ce chapitre sont de dimension nie. (a) Espace a ne et espace vectoriel associé. Application a ne et application linéaire associée. Sous- espaces a nes, barycentres. Repères a nes, équations d'un sous-espace a ne. Groupe a ne, notion de propriété a ne. Groupe des homothéties-translations, a nités. Parties convexes, en- veloppe convexe d'une partie d'un espace a ne réel, points extrémaux. (b) Isométries d'un espace a ne euclidien. Groupe des isométries d'un espace a ne euclidien. Dé- placements, antidéplacements. Similitudes directes et indirectes du plan. Classi cation des isométries en dimension deux et trois. (c) Angles en dimension deux : angles de vecteurs, angles de droites, Théorème de l'angle inscrit, cocyclicité. (d) Groupe des isométries laissant stable une partie du plan ou de l'espace. Polygones réguliers. Relations métriques dans le triangle. Utilisation des nombres complexes en géométrie plane. (e) Application des formes quadratiques à l'étude des coniques propres du plan a ne euclidien (foyer, excentricité) et des quadriques de l'espace a ne euclidien de dimension trois. 6 Analyse à une variable réelle 6.1 Nombres réels Le corps R des nombres réels. Topologie de R. Sous-groupes additifs de R. Suites de nombres réels : convergence, valeur d'adhérence. Suites récurrentes. Limites inférieure et supérieure. Suites de Cauchy. Complétude de R. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Parties compactes de R. Parties connexes de R. c ⃝www.devenirenseignant.gouv.fr page 3 Agrégation externe de mathématiques 6.2 Séries numériques Convergence des séries à termes réels. Séries géométriques, séries de Riemann. Séries à termes positifs. Sommation des relations de comparaison. Comparaison d'une série et d'une intégrale. Estimations des restes. Convergence absolue. Produits de séries. Séries alternées. 6.3 Fonctions dé nies sur une partie de R et à valeurs réelles (a) Continuité Limites, continuité. Théorème des valeurs intermédiaires, image d'un segment. Étude de la conti- nuité des fonctions monotones. Continuité d'une fonction réciproque. (b) Dérivabilité Dérivée en un point, fonctions dérivables. Dérivée d'une fonction composée. Dérivée d'une fonction réciproque. Théorèmes de Rolle et des accroissements nis. Étude des variations d'une fonction. Dérivées d'ordre supérieur. Applications de classe C k, de classe C k par morceaux. Formule de Leibniz. Formule de Taylor-Young, formule de Taylor avec reste intégral, formule de Taylor-Lagrange. Calcul de développements limités et de développements asymptotiques. 6.4 Fonctions usuelles Fonctions polynômes, fonctions rationnelles. Logarithmes. Exponentielles. Fonctions puissances. Fonc- tions circulaires et hyperboliques. Fonctions circulaires et hyperboliques réciproques. 6.5 Intégration (a) Intégrale sur un segment des fonctions continues par morceaux Calcul de primitives. Sommes de Riemann. Primitives d'une fonction continue. Méthodes usuelles de calcul d'intégrales. Changement de variable. Intégration par parties. (b) Intégrales généralisées Intégrales absolument convergentes. Intégration des relations de comparaison. Intégrales semi- convergentes. 6.6 Suites et séries de fonctions Convergence simple, convergence uniforme. Continuité et dérivabilité de la limite. Cas des séries de fonctions ; uploads/s3/ p2022-agreg-ext-mathematiques-1402337.pdf

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Administrationfonctions d'une théorème espace groupe
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