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Mathématiques et sciences humaines Mathematics and social sciences 182 | Été 20

Mathématiques et sciences humaines Mathematics and social sciences 182 | Été 2008 Varia Pourquoi la loi de Benford n’est pas mystérieuse A new general explanation of Bendford’s law Nicolas Gauvrit et Jean-Paul Delahaye Édition électronique URL : http://journals.openedition.org/msh/10363 DOI : 10.4000/msh.10363 ISSN : 1950-6821 Éditeur Centre d’analyse et de mathématique sociales de l’EHESS Édition imprimée Date de publication : 30 juin 2008 Pagination : 7-15 ISSN : 0987-6936 Référence électronique Nicolas Gauvrit et Jean-Paul Delahaye, « Pourquoi la loi de Benford n’est pas mystérieuse », Mathématiques et sciences humaines [En ligne], 182 | Été 2008, mis en ligne le 30 juin 2008, consulté le 10 décembre 2020. URL : http://journals.openedition.org/msh/10363 ; DOI : https://doi.org/10.4000/ msh.10363 © École des hautes études en sciences sociales Math. & Sci. hum. / Mathematics and Social Sciences (46e année, n◦182, 2008(2), p. 7–15) POURQUOI LA LOI DE BENFORD N’EST PAS MYSTÉRIEUSE Nicolas GAUVRIT1, Jean-Paul DELAHAYE2 résumé – La loi dite de Benford prévoit que le premier chiﬀre signiﬁcatif d’un nombre tiré de manière aléatoire suit une loi logarithmique et non, comme on pourrait s’y attendre, une loi uniforme. Cette loi expérimentale a été démontrée mathématiquement pour diverses suites numé- riques, et a été vériﬁée expérimentalement sur d’immenses corpus numériques. Sur ces données naturelles, la loi de Benford apparaît très souvent comme une bonne approximation de la réalité, mais il semble aussi qu’elle ne soit qu’une approximation. Nous proposons une nouvelle explication de la loi de Benford, qui ne devrait pas, à notre avis, être considérée comme paradoxale mathématiquement. Nous énonçons un critère de régularité naturel sur une variable X et nous démontrons que, si ce critière est vériﬁé, alors X suit « à peu près » la loi de Benford. mots clés – Biais d’équiprobabilité, Loi de Benford, Paradoxe. summary – A new general explanation of Bendford’s law According to Benford’s law, the ﬁrst digit of a random number does not follow a uniform distri- bution, as many people believe, but a logarithmic distribution. This law was at the begining purely experimental, but it is now established that it holds for various mathematical series and some na- tural data sets. Concerning data sets, Benford’s law often appears as a good approximation of the reality, but as no more than an approximation. Our aim is to present a new explanation for this law. We argue that it should not be considered as a mathematical paradox, but as a purely psychological paradox, a result of a cognitive bias. We express a general criterion of regularity on a random variable X and prove that, whenever X follow this criterion, X is approximately Benford. keywords – Benford’s law, Equiprobability bias, Paradox. D’abord remarquée par Newcomb [1881], la loi dite « de Benford » n’a connu son heure de gloire qu’à partir d’une nouvelle publication 57 ans plus tard [Ben- ford, 1938]. Cette loi prévoit, dans sa version la plus faible, que le premier chiﬀre signiﬁcatif d’un nombre tiré dans une série statistique à peu près quelconque ne suit absolument pas la loi uniforme sur {1, ..., 9}. Au contraire, d’après cette loi, le chiﬀre 1 est largement prépondérant, le chiﬀre 9 étant à l’inverse le moins fréquent. 1Equipe didactique des mathématiques (DIDIREM), EA 1547, Centre Chevaleret, Université Paris VII, 175 rue du Chevaleret 75013 Paris, adems@free.fr 2Laboratoire d’Informatique Fondamentale de Lille (LIFL), UMR USTL/CNRS 8022, Uni- versité des sciences et technologie de Lille, bâtiment M3, 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex, jean- paul.delahaye@liﬂ.fr 8 n. gauvrit, j.-p. delahaye La probabilité d’apparition d’un chiﬀre d en position de premier chiﬀre signiﬁcatif (c’est-à-dire le chiﬀre non nul le plus à gauche dans l’écriture décimale du nombre) est log 1 + 1 d . Largement considérée comme étonnante pour ne pas dire paradoxale, la loi de Benford (ou de Newcomb-Benford) a suscité depuis sa découverte un grand nombre de publications, qui cherchent essentiellement à répondre à deux questions : (1) Pourquoi la plupart des données empiriques comme les constantes physiques (cf. [ Knuth, 1969] ou [Burke, Kincanon, 1991]), certaines données économiques ou démographiques [Nigrini, Wood, 1995], vériﬁent-elles approximativement cette loi ?3 (2) Quelles conditions générales doit vériﬁer une variable aléatoire X pour suivre la loi de Benford ? En marge de ces tentatives de résolution du paradoxe s’est posée une autre question : cette loi de Benford est-elle vraiment vériﬁée ? Il apparaît que dans les faits bien des ensembles de données ne suivent pas du tout la loi de Benford [Scott, Fasli, 2001]. C’est le cas par exemple des nombres pseudo-aléatoires donnés par des humains [Hill, 1988]. Ces résultats ont déjà été utilisés pour repérer des fraudes, notamment en matière ﬁscale, mais aussi des données contrefaites dans des articles scientiﬁques. Mais surtout, ce qui est peut-être plus important, beaucoup de lois empiriques suivent à peu près la loi de Benford, en conservant vis-à-vis d’elle une diﬀérence signiﬁcative que la multiplication des données ne résorbe pas. Cette loi fut d’abord empirique, mais il est maintenant prouvé qu’elle est ri- goureusement vraie pour certains types de données, comme les orbites de certains systèmes dynamiques [Berger et al., 2004]. Hill, après avoir démontré que la loi de Benford était la seule loi possible si on impose l’invariance par changement d’échelle ou de base [1995(a)], a prouvé un théorème selon lequel une suite de valeurs obtenues en sélectionnant, selon certaines contraintes, diﬀérents échantillons dans diﬀérentes populations pour des variables diverses donne ﬁnalement une loi de Benford [1995(b)]. C’est un équivalent, au fond, du théorème central limite : un échantillonnage bien fait doit mener à une loi particulière. Boyle [1994] montre que la multiplication entre elles de variables indépendantes conduit à la loi de Benford. Autrement dit, la loi de Benford serait naturelle si les nombreux facteurs qui expliquent telle ou telle grandeur agissent multiplicativement. Certaines suites numériques, comme (nn) ou n! [Posch, à paraître] suivent exactement la loi de Benford. C’est le cas également de la suite des (an) , avec log10(a) ∈R\Q et plus généralement de toute suite déﬁnie par une relation de récurrence polynomiale et dont le polynôme déﬁnitoire satisfait certaines conditions [Jolissaint, 2005]. 3La terminologie varie d’un auteur à l’autre. On dit parfois que la variable X suit une loi de Benford pour signiﬁer que le premier chiﬀre signiﬁcatif de X suit cette loi logarithmique. Il arrive aussi qu’on dise alors que le premier chiﬀre signiﬁcatif de X suit une loi de Benford. Enﬁn, il arrive que l’expression X suit une loi de Benford indique que la partie fractionnaire de log (X) suit une loi uniforme. Nous utiliserons dans la suite les trois expressions indiﬀéremment, le contexte permettant toujours de comprendre de quelle notion il s’agit. pourquoi la loi de Benford n’est pas mystérieuse 9 Deux raisons peuvent expliquer l’étonnement que suscite la loi de Benford. La première est qu’elle est souvent présentée (à tort) comme une loi universelle, vraie pour tout ensemble de données empiriques ou mathématiques. De nombreuses données empiriques « aléatoires » ne la vériﬁent pourtant pas, et bien des séries ou des variables mathématiquement simples non plus. Les suites (n), (kn), des nombres premiers, sont dans ce cas. Enﬁn, de nombreuses listes de données numériques suivent une loi proche de la loi de Benford, mais tout de même diﬀérente. Dans l’article initial de Benford [1938], par exemple, la moitié des listes considérées s’écartent signiﬁcativement de la loi prévue. La seconde raison est d’ordre psychologique : si nous considérons le dernier chiﬀre d’une série aléatoire suﬃsamment étalée et régulière de nombres entiers, nous nous attendons à trouver une loi uniforme, donc autant de 0 que de 1, que de 2, etc. Et plus généralement, si des réels sont choisis « aléatoirement », on s’attend également à ce que la partie fractionnaire des nombres suive une loi uniforme. En l’occurrence, cette attente paraît raisonnable, bien qu’il faille, si l’on veut être rigoureux, préciser ce qu’on entend par « série aléatoire de nombres » (la référence par défaut, la loi uniforme, ne pouvant être considérée ici). Cette « loi de la partie fractionnaire » ou du « chiﬀre des unités », que l’on attend uniforme, est donc une hypothèse rationnelle. Or, une approche superﬁcielle qui s’appuie plus sur la forme que sur le fond, nous pousse à considérer la question du « dernier chiﬀre » comme parfaitement similaire à celle du « premier chiﬀre ». C’est justement là que l’intuition fait défaut. Car s’il y a bien un lien entre la loi de la partie fractionnaire et du premier chiﬀre signiﬁcatif, il est bien moins direct qu’on ne le pense. On imagine volontiers que si X est une variable aléatoire suﬃsamment régulière, log (X) l’est aussi, et l’on s’attend donc à ce que la partie fractionnaire de X, mais aussi celle de log (X) , suive une loi uniforme. Or, dans ce dernier cas, cette attente intuitive est précisément une version de la loi de Benford... En réalité, l’attente d’une loi uniforme sur le premier ou le dernier chiﬀre d’un nombre est le résultat d’une illusion bien connue des psychologues : le uploads/s3/ loi-benford 1 .pdf