MA TH  E EMA TIQUES PURES & APPLIQU  E EES R  E EALIT  E E ET FICTION DES M

MA TH  E EMA TIQUES PURES & APPLIQU  E EES R  E EALIT  E E ET FICTION DES MA TH  E EMA TIQUES APPLIQU  E EES Mic helle SCHA TZMAN Univ ersit  e e Ly on  sc hatz@iris.univ-ly on.fr - Un sujet tr  e es risqu  e e P arler de math  e ematiques pures et de math  e ematiques appliqu  e ees est d'autan t plus dicile que la d  e e nition des math  e ematiques en g  e en  era l est loin d' ^ e etre claire, et a alimen t  e e d'ab ondan tes r  e e exions  e epist  e emo logiq ues. Le r  e ecen t livre de R. Hersc h [] con tien t une remarquable revue de la philosophie des math  e ematiques, et j'ai b eaucoup de sympathie p our sa conclusion faisan t des math  e ematiques un ob jet so cial/culturel/historique, ou une forme de vie (page ). Comme je ne disp ose pas de certitudes, je v ais me livrer  a a une p etite pro v o cation et brandir le b^ a aton de Guignol en hommage  a a ma cit  e e d'adoption : les math  e ematiques, la ph ysique, la c himie et les sciences de l'ing  e enieur son t une partie de l'analyse n um  e erique. Ceci laisse de c^ o ot  e e , h  e elas, les probabilit  e es et statistiques. Comptons sur un lecteur malin p our me retourner la pique, presque s ^ u uremen t. En termes plus sereins, il y a tan t d'in terp  e en  etra tions in tellectuelles que les classi cations traditionnelles son t sans ob jet. P our  e eta y er l'assertion, il sut de lire et d'  e ecouter ce que fon t les gens qui se placen t sous la banni  e ere de l'analyse n um  e erique et de l'analyse appliqu  e ee au sens de la   e eme section du CNU p our constater que leur activit  e e ne se laisse pas enfermer dans un cadre simple. Il y a les d  e elits habituels consistan t  a a fricoter a v ec les m  e ecaniciens des uides et des solides, ou  a a tra quer du c^ o ot  e e des  e equations de Maxw ell, tout ceci faisan t partie du monde classique des sciences de l'ing  e enieur. Mais  a a part tout cela, on p eut relev er un certain nom bre d'in v asions in- habituelles : utilisation du calcul formel, que ce soit p our g  e en  erer des sc h  e emas n um  e eriques, ou p our trouv er des d  e ev elopp emen ts asymptotiques, et m ^ e eme parfois fabrication de m  e etho des de calcul formel ; des en trelacs br  e es au d  e etour d'une EDP non lin  e eaire ; des form ules de Campb ell-Hausdor  MICHELLE SCHA TZMAN cac h  e ees dans des sc h  e emas d'in t  e egration temp orelle ; du mouv emen t par cour- bure mo y enne p our comprendre des transitions de phase ; de la com bustion m  e elang  ee  a a des th  e eor  emes d'indice ; des mo d  e eles de supraconductivit  e e m^ a atin  e es de cohomologie ; des grandes d  e eviations a v ec de l'  e ev olution de galaxies ; de l'ergo dicit  e e p our d  e ecrire des uides dans des milieux p oreux sto c hastiques. Je n'ai cit  e e ici que des c hoses que je connais de pr  e es ; si le greer ra joutait tous les m  e efaits de mes cong  e en  er es se cac han t sous le m ^ e eme faux nez, je conna ^  trais d'a v ance le r  e equisitoire : \v otre compte est b on, mes gaillards : v ous cac hez sous l'  e etendard de l'Analyse Num  e erique des activit  e es de con trebande in tellectuelle, et v ous ne p ouv ez pas v ous emp ^ e ec her d'imp orter dans v os pures math  e ematiques appliqu  e ees des tas de c hoses qui n'en son t absolumen t pas." Je suis donc incapable de fournir une d  e e nition de ce qui est pur et appliqu  e e en math  e ematiques ; plus pr  e ecis  emen t, s'il y a v ait une telle d  e e nition, un con tre-exemple p ermettrait rapidemen t de la r  e efuter, parce qu'il s'instaure en p ermanence des pratiques scien ti ques qui d  e efon t fron ti  e eres et d  e e nitions, sit^ o ot qu'elles on t  e et  e e mises en place. . D  e emonstration, imagination et exp  e erimen tation Il est couran t de dire que les math  e ematiques se caract  e eris en t par l'imp ortance donn  e ee  a a l'activit  e e de d  e emonstration. Une telle d'assertion masque le fait que certain des plus c  e el  e bres, d'Euler  a a Witten, en passan t par P oincar  e, ne son t pas particuli  e eremen t r  e eput  es p our leur amour des d  e emonstrations. Une fameuse remarque de Hilb ert est rapp ort  e ee dans le livre de Constance Reid [], page  : It seems that there w as a mathematician who had b ecome a no v elist. \Wh y did he do that ? " p eople in G o ottingen marv elled. \Ho w can a man who w as a mathematician write no v els ? " \But that is completely simple," Hilb ert said. \He did not ha v e enough imagination for mathematics, but he had enough for no v els." Cela nous dit bien qu'aux y eux des plus grands, m ^ e eme s'ils n'on t pas d  e edaign  e de faire des d  e emonstrations, la priorit  e e c'est l'id  e ee : sans id  e ee, p oin t de question ni de d  e emonstration v  e eritablemen t nouv elle ;  e evidemmen t, rares son t ceux qui se lancen t dans une vision quasimen t proph  e etique du fonctionnemen t des ob jets math  e ematiques. Mais qui n'a jamais  e enonc  e un r  e esultat dans une note, ou donn  e e une comm unication de congr  e es, alors que la preuv e  e etait, disons, quelque p eu incompl  e ete ? P our un r  e esultat tr  e es abstrait, on comprend que la v alidation essen tielle soit une d  e emonstration. Mais si nos r  e esultats on t  a a v oir a v ec le monde concret, faut-il faire des d  e emonstrations ? GAZETTE DES MA TH  E EMA TICIENS R  E EALIT  E E ET FICTION DES MA TH  E EMA TIQUES APPLIQU  E EES  En particulier, qui a b esoin de la d  e emonstration de la con v ergence d'une m  e etho de n um  e erique ? On programme cette m  e etho de, on l'exp  e erimen te, et on v oit bien si elle con v erge ou non, n'est-ce pas ? Non seulemen t, on disp ose de l'exp  e erimen tation n um  e erique, mais les math  e ematiciens ne son t pas totalemen t d  e ep ourvus de b on sens ; or les d  e emonstrations de con v ergence de m  e etho des n um  e eriques p euv en t ^ e etre suiv an t les cas : | . r uploads/s3/ realite-et-fiction-des-mathematiques-appliquees-par-michelle-schatzman.pdf

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