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ANIS BEN ALI Nombre dérivé 3ème Année et 4ème Année Si f est dérivable en a, le

ANIS BEN ALI Nombre dérivé 3ème Année et 4ème Année Si f est dérivable en a, le nombre dérivé de f en a est noté f ‘ (a). f ‘ (a) = lim h → 0 f(a+h) – f(a) h : C’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A(a ;f(a)) L’équation de la tangente à la courbe Cf au point A(a ;f(a)) est : y = f ‘(a) (x-a) + f(a) C’est aussi la meilleure approximation affine de f pour x proche de a. On a pour x proche de a : f(x) ≈ f ‘(a) (x-a) + f(a) Rappel : Pour déterminer le coefficient directeur d’une droite. a = yB - yA xB - xA x y o -6 -4 -2 2 4 6 -1 1 2 3 4 5 6 7 A B La droite (AB) passe par les points A(1 ;2) et B(2 ;4) donc son coefficient directeur est a = yB - yA xB - xA = 4 – 2 2 - 1 = 2 Son équation est y = a(x – xA) + yA soit y= 2(x-1)+2 = 2x-2+2=2x donc la droite (AB) est d’équation : y=2x Remarque : de même (AB) est d’équation y = a(x – xB) + yB soit y= 2(x-2)+4 = 2x-4+4=2x lecture graphique : x y o -6 -4 -2 2 4 6 -1 1 2 3 4 5 6 7 A B Lecture de f’(2) et équation de la tangente La tangente à Cf au point d’abscisse x=2 passe par les points A(2 ;2) et B(3 ;4) donc son coefficient directeur est yB - yA xB - xA = 4 – 2 3 - 2 = 2 donc f ‘ (2) = 2 On peut donner l’équation de cette tangente : y = f ‘(a) (x-a) + f(a) y = 2 (x – 2) + f(2) = 2(x-2)+2 = 2x-4+2= 2x-2 soit y= 2x-2 (c’est aussi la meilleure approximation affine de f pour x proche de 2, on a si x proche de 2 : f(x) ≈2x-2 ) Remarque : Cette équation est aussi donnée par : y = 2 (x – xA) + yA = 2(x-2)+2 = 2x-4+2= 2x-2 soit y= 2x-2 ou par : y = 2 (x – xB) + yB = 2(x-3)+4 = 2x-6+4= 2x-2 soit y= 2x-2 Lecture de f’(0) La tangente à Cf au point d’abscisse x=1 est horizontale d’équation y=1donc f ’(1)=0 www.tunisia-study.com Anis BEN ALI Application : f est définie sur [-2 ;3] 1. Compléter le tableau de valeurs x -2 -1 0 1 2 3 f(x) -7 2. Tableau de signe de f(x) sur [-2 ;3] Tableau de variation de f sur [-2 ;3] 3. lire f’(1) lire f’(2) Equation de la tangente au point d’abscisse x=2 Meilleure approximation affine de f pour x proche de 2 lire f’(-1) Equation de la tangente au point d’abscisse x= -1 Meilleure approximation affine de f pour x proche de -1 x y o -4 -2 2 4 6 8 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 A B C D www.tunisia-study.com Anis BEN ALI uploads/S4/ 3s-et-m-fiche-nombre-derive-ex-bilan.pdf