INCERTITUDE DUE A L’INTERPOLATION SUR UNE TABLE DE DONNEES NUMERIQUES Incertitu
INCERTITUDE DUE A L’INTERPOLATION SUR UNE TABLE DE DONNEES NUMERIQUES Incertitude due à l’interpolation sur une table de données numériques FLORIAN PLATEL www.metgen.org 1. Formulation mathématique du problème Soient x1 et x2 deux réels. On note f, la fonction traduisant le phénomène physique que l’on étudie. Celle-ci est supposée continue sur [x1, x2]. Cette fonction n’est connue que de manière discrète aux points x1 et x2 par le tableau 1. Dans le cas le plus général, l’on a construit cette table à partir de plusieurs expériences : on a généré plusieurs valeurs de xi , i ∈ {1, 2} et l’on a mesuré les valeurs de yi correspondantes. Ainsi, xi (resp. yi) est affectée de l’incertitude I(xi) (resp. I(yi)). Posons : Pi = [xi - I(xi), xi + I(xi)] x [yi - I(yi), yi + I(yi)] , avec i ∈ {1, 2}. En notant l’ ensemble des fonctions continues passant par les pavés P1 et P2 , il vient alors, f ∈ (fig. 1). 2. Interpolation linéaire Soient ∆ la droite passant par les points (x1, y1) et (x2, y2) et x ∈ [x1, x2]. On suppose d’ autre part que x est affectée de l’ incertitude I(x). Posons : 1 2 1 x x x x x − − = θ . (1) Dans ces conditions , la valeur interpolée est : y = θx · (y2 - y1) + y1 . (2) x f(x) x1 y1 x2 y2 Tableau 1 Table d’étalonnage donnant f P1 P2 x1 - I(x1) x1 + I(x1) x2 - I(x2) x2 + I(x2) y1 - I(y1) y1 + I(y1) y2 - I(y2) y2 + I(y2) f Fig. 1. - Exemple de fonction passant par P1 et P2 METGEN – DOSSIER METROLOGIE N° 1 DM1 – Rév. 5 2.1. Calcul de l’incertitude type sur y En supposant les variables de l’ équation (2) non corrélées, l’ incertitude type sur y est calculée par la loi de propagation des variances : ∑ = ⋅ ∂ ∂ + θ ⋅ θ ∂ ∂ = 2 1 i 2 2 i 2 2 x 2 ) ( ) ( ) ( i x y u y y u y y u , ce qui conduit à : ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 x 1 2 2 x x 2 2 1 2 2 y u y u u y y y u ⋅ θ + ⋅ θ − + θ ⋅ − = . (3) 2.2. Calcul de l’incertitude type sur θx En supposant les variables de l’ équation (1) non corrélées, l’ incertitude type sur y est calculée par la loi de propagation des variances : ∑ = ⋅ ∂ θ ∂ + ⋅ ∂ θ ∂ = θ 2 1 i 2 2 i 2 2 2 ) ( ) ( ) ( i x x x x u x x u x u , ce qui conduit à : ] [ ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 2 2 x 1 2 2 x 2 2 1 2 2 x u x u x u x x u x ⋅ θ + ⋅ θ − + ⋅ − = θ . (4) 2.3. Simplification des expressions 2.3.1. Simplification de u(y) En posant : um(yi) = Max {u(y1) ; u(y2)} , il vient d’ après l’ expression (3) : { } ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( x 2 2 1 2 i 2 m 2 x 2 x 2 θ ⋅ − + ⋅ θ + θ − ≤ u y y y u y u Puisque θx ∈ [0, 1] , il vient 1 ) 1 ( 2 x 2 x ≤ θ + θ − , et donc : ) ( ) ( ) ( ) ( x 2 2 1 2 2 m 2 θ ⋅ − + ≤ u y y y u y u i . En posant Py = y2 - y1 , le « pas selon y », l’ expression précédente s’ écrit : ) ( ) ( ) ( x 2 2 y 2 m 2 θ ⋅ + ≤ u P y u y u i . (5) 2.3.2. Simplification de u(θx) En posant : um(xi) = Max {u(x1) ; u(x2)} , il vient d’ après l’ expression (4) : ( ) { } ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 ) ( 2 i 2 m 2 x 2 x 2 1 2 2 x u x u x x u x + ⋅ θ + θ − ⋅ − ≤ θ Puisque θx ∈ [0, 1] , on a 1 ) 1 ( 2 x 2 x ≤ θ + θ − , et donc : { } ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 i 2 m 2 1 2 2 x u x u x x u x + ⋅ − ≤ θ . En posant Px = x2 - x1 , le « pas selon x », l’ expression précédente s’ écrit : ( ) ) ( ) ( 1 ) ( 2 i 2 m 2 x 2 x u x u P u x + ⋅ ≤ θ . (6) 2.4. Expression finale du résultat En combinant (5) et (6), il vient : ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 2 i 2 m 2 x y 2 m 2 x u x u P P y u y u i + ⋅ + ≤ . (7) 3. Incertitude due à l’assimilation à une droite L’ assimilation de la fonction f à la droite ∆ introduit une erreur. La fonction n’ étant connue que de manière discrète, il n’ est en principe pas possible de déterminer directement l’ erreur. Néanmoins, on peut quand même la majorer. 3.1. Existence d’un majorant Soit ϕ l’ équation de la droite ∆. Pour x ∈ [x1, x2] , on définit δ(x) = ϕ (x) - f(x) qui est la fonction donnant l’ erreur commise en assimilant f à la droite ∆. Par hypothèse, la fonction δ étant continue sur l’ intervalle [ x1, x2] qui est un compact de , on déduit que δ([x1, x2]) est aussi un compact de : ce qui signifie qu’ il existe c ∈ [x1, x2] tel que [ ] ) ( ) ( , 2 1 c x x x x δ ≤ δ ∈ ∀ . 3.2. Calcul d’un majorant En conservant les notations précédentes, l’ on obtient δ’ ( c) = 0 . Posons ϕ (x) = K·(x - x1) + f(x1) , L’incertitude type liée à l’ interpolation linéaire est majorée de la façon suivante : ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 2 i 2 m 2 x y 2 m 2 x u x u P P y u y u i + ⋅ + ≤ avec : um(xi) = Max {• u(x1)• ; • u(x2)• } ; um(yi) = Max {• u(y1)• ; • u(y2)• } ; Px = x2 - x1 ; Py = y2 - y1 . Résumé : L’incertitude type liée à l’ interpolation linéaire est majorée de la façon suivante : ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 2 i 2 m 2 x y 2 m 2 x u x u P P y u y u i + ⋅ + ≤ , avec : um(xi) = Max {u(x1) ; u(x2)} ; um(yi) = Max {u(y1) ; u(y2)} ; Px = x2 - x1 ; Py = y2 - y1 . Résultat n° 1 : INCERTITUDE DUE A L’INTERPOLATION SUR UNE TABLE DE DONNEES NUMERIQUES avec 1 2 1 2 ) ( ) ( x x x f x f K − − = . Il vient alors f’ ( c) = K . Soit : x ∈ [x1, x2]. Par hypothèse, f est de classe C2 sur [x1, x2] et dérivable à l’ ordre 3 sur ] x1, x2[ . La formule de Lagrange appliquée entre x et x1 conduit à dire qu’ il existe θ ∈ ]0, 1[ tel que : )) ( ( " 2 ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( 1 1 2 1 1 1 x x x f x x x f x x x f x f − ⋅ θ + ⋅ − + ⋅ − + = . On a alors successivement : )) ( ( " 2 ) ( ) ( uploads/S4/ dm-1.pdf
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- Publié le Jul 18, 2022
- Catégorie Law / Droit
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