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Philippe Caldero et Jérôme Germoni Nouvelles histoires hédonistes de groupes et

Philippe Caldero et Jérôme Germoni Nouvelles histoires hédonistes de groupes et de géométries Tome second Calvage & Mounet Philippe Caldero est ancien élève de l’ÉNS de Saint-Cloud, agrégé de mathématiques et docteur. Il est maître de conférences à l’université Lyon 1 et ses travaux de recherche concernent la théorie des représentations. Il assume actuellement la responsabilité du master de mathématiques et celle de l’agrégation interne. caldero@math.univ-lyon1.fr Jérôme Germoni est ancien élève de l’ÉNS, agrégé de mathématiques et docteur. Il est maître de conférences à l’université Lyon 1. Passionné de questions d’enseignement et de diﬀusion de la culture mathématique, il a dirigé l’Institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques (IREM) de Lyon. germoni@math.univ-lyon1.fr Mathematics Subject Classiﬁcation (2000) : 14-XX Algebraic geometry 14H-XX Curves 14.20 Algebraic curves, surfaces and special varieties 20C-XX Representation theory of groups 20C-05 Group rings of ﬁnite groups and their modules 20C-15 Ordinary representations and characters 05-XX Combinatorics 05BXX Designs and conﬁgurations 05B25 Finite geometries 51-XX Geometry 51F-XX Metric geometry 51N-XX Analytic and descriptive geometry 51N10 Aﬃne analytic geometry 51N15 Projective analytic geometry 51N20 Euclidean analytic geometry 51N25 Analytic geometry with other transformation groups 51N30 Geometry of classical groups 51A05 General theory and projective geometries Imprimé sur papier permanent ISBN 978-2-916352-67-1 9 7 8 2 9 1 6 3 5 2 6 7 1 c ⃝Calvage & Mounet, Paris, 2018 À tous ceux qui nous ont fait découvrir les plaisirs mathématiques : à nos parents, nos professeurs... qui sont parfois un peu les mêmes... Table des matières VII. Le corps des quaternions 1. Le corps des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Applications à SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. Applications à SO(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4. Aparté sur la simplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 A. Annexe. Engendrement de O(n) et SO(n); simplicité de SO(3) . 15 B. Interlude: l’ours mal peigné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 C. Développement. Fibration de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . 23 D. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 VIII. Combinatoire algébrique 1. Dénombrement sur les corps ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2. Décomposition en cellules et dénombrement . . . . . . . . . . . 46 3. Applications aux isomorphismes exceptionnels de groupes ﬁnis . 48 4. Développement. Un non-isomorphisme exceptionnel . . . . . . . 54 A. Annexe. Formulaire raisonné de combinatoire algébrique . . . . 57 B. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 IX. Groupes de Lie 1. Groupes de Lie classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2. Applications aux isomorphismes exceptionnels . . . . . . . . . . 83 A. Annexe. Rappels et compléments en calcul diﬀérentiel . . . . . . 87 B. Notion d’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 C. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 X. Droite projective et applications 1. Droite projective sur un corps quelconque . . . . . . . . . . . . . 117 2. Droite projective sur les corps classiques . . . . . . . . . . . . . 131 3. Application: préservation du birapport par projection centrale . 135 4. Application: structure de droite projective sur une conique . . . 137 5. Application: distance de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 A. Sphère de Riemann et projection stéréographique . . . . . . . . 145 B. Le plan projectif ou la géométrie dans une coquille de noix . . . 153 C. La formule des six birapports de Perrin . . . . . . . . . . . . . . 154 D. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 – vii – viii Table des matières XI. Trois problèmes de géométrie 1. L’ellipse de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 2. Le théorème de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 3. L’alternative de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 A. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 XII. Solides platoniciens et sous-groupes ﬁnis de SO3(R) 1. Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 2. Approche topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 3. Groupes d’isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 4. La toy dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 5. Dictionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 6. Guide du routard en dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 A. Annexe. Dualité des ensembles compacts convexes de Rn . . . . 240 B. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 XIII. Représentations et caractères 1. Représentations, premières déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . 251 2. Caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 3. Composantes isotypiques d’une représentation . . . . . . . . . . 275 A. Annexe. Tables de caractères de certains groupes classiques . . . 283 B. Annexe. Table de caractères du groupe diédral . . . . . . . . . . 297 C. Groupe symétrique Sn, pour n = 3, 4, 5 . . . . . . . . . . . . . . 303 D. Groupe alterné An, pour n = 3, 4, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 312 E. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 XIV. Théorie des représentations. Addendum 1. Séries de Molien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 2. Représentations réelles et formes quadratiques . . . . . . . . . . 376 A. Exercices . uploads/S4/ preface-tome2-nouvelles-caldero-germoni.pdf