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Sujet I On considère la série statistique double suivante : x 2 3 5 8 11 y 5,6

Sujet I On considère la série statistique double suivante : x 2 3 5 8 11 y 5,6 7,2 9,6 15,1 20 1° Calculer les sommes ∑∑ ∑ ∑ ∑ xy y x y x et , , , 2 2 . 2° Représenter le nuage de points. 3° Déterminer les coordonnées du point moyen du nuage de points. 4° Calculer (en justifiant vos résultats à partir de la question 1°) V(x), V(y), cov(x, y). 5° Déterminer (en justifiant les résultats à partir de la question 4°) l’équation de la droite Dy/x de régression de y en x. Représenter cette droite. 6° Calculer, à partir de la question 4°, le coefficient de corrélation linéaire. Interpréter le résultat. II Le mur d’une habitation est constituée par une couche de béton et une couche de polystyrène d’épaisseur variable x (en cm). On a mesuré la résistance thermique R de ce mur pour différentes valeurs de x et l’on a obtenu les résultats suivants : x 3 5 7 9 11 13 16 21 R 2,04 2,69 3,06 3,90 4,09 4,72 6,16 6,69 1° Représenter graphiquement cette série (x en abscisses et R en ordonnées). Peut-on envisager un ajustement affine ? 2° Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre x et R. Conclure. 3° Déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de R en x. Représenter cette droite (en justifiant sa construction). 4° Quelle résistance thermique peut-on espérer obtenir avec une couche de polystyrène de 23 cm ? On pourra utiliser le document-réponse de la page suivante. Nom : I II. Corrigé de l’exercice I 1° On obtient ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = 6 , 421 ; 37 , 803 ; 223 ; 5 , 57 ; 29 2 2 xy y x y x . 2° Voir le graphe. 3° Le point moyen M du nuage a pour coordonnées . 5 , 11 5 5 , 57 et 8 , 5 5 29 = = = = y x 4° 5 , 11 8 , 5 5 6 , 421 ) , cov( ; 5 , 11 5 37 , 803 ) ( V ; 8 , 5 5 223 ) ( V 2 2 × − = − = − = y x y x d’où V(x)= 10,96 ; V(y)= 28,424 et cov(x, y) = 17,62 . 5° Dy/x a pour équation y=ax+ b où a= 96 , 10 62 , 17 ≈ 1,608 et b= 11,5 – 96 , 10 62 , 17 ×5,8 ≈ 2,1755 puisque cette droite passe par M. Dy/x passe aussi par le pont de coordonnées 10 et 10a+ b≈18,25 d’où sa construction. 6° Le coefficient de corrélation linéaire r est donné par r= 424 , 28 96 , 10 62 , 17 × ≈0,998. L’ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés est excellent, le nuage de ponts est très proche de Dy/x. Représentation graphique du problème M Dy/x Corrigé de l’exercice II DR/x La représentation graphique de la question 1° et 3° 1° Après avoir placé tous les points, on remarque qu’on peut tracer une droite qui est très proche de chaque point. On peut donc envisager un ajustement affine. 2° Avec la calculette, on remarque que le coefficient r de corrélation linéaire entre x et R est donné par r≈ 0,988. Par la méthode des moindres carrés, l’ajustement linéaire est excellent. 3° La droite DR/x a pour équation y=ax+b. Avec la calculette, on obtient : a≈ 0,271 et b ≈ 1,291 Cette droite passe par le point de coordonnées 2 et 2a+b≈ 1,83 et par le point de coordonnées 20 et 20a+b ≈ 6,71, d’où sa construction. 4° Le nuage de points étant très proche de DR/x, on considère qu’approximativement y=ax+b . Pour x=23 et 23a+b donne la valeur espérée de R, on prend ici R= 7,52 ( un nombre à 10-2 près comme dans le tableau de l’énoncé). uploads/S4/4-sujet-series-statistiques-doubles.pdf