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compta-excellant.be INSTITUT D’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR DE PROMOTION SOCIALE MARC

compta-excellant.be INSTITUT D’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR DE PROMOTION SOCIALE MARCHE-EN-FAMENNE MATHEMATIQUES FINANCIERES DENIS CLARINVAL 2010-2011 compta-excellant.be MICROECONOMIE FINANCIERE Les concepts d’utilité et de consommation. On remarque sur les courbes que l’utilité à consommer est une fonction décroissante ; à mesure que notre consommation s’accroît, son utilité diminue forcément. Des courbes d’utilité intertemporelle à la carte d’indifférence. compta-excellant.be Le graphique de gauche nous présente les courbes d’indifférence dans un espace tridimensionnel ; le graphique de droite nous est familier puisqu’il nous présente le point d’équilibre comme point de tangence de la droite du budget avec la courbe d’utilité la plus élevée. Consommation et investissement. Le graphique 1.5 nous présente la courbe d’investissement ; cette courbe est décroissante en raison notamment de la courbe spécifique du CTL et des rendements d’échelle généralement croissants puis décroissants. Sur le graphique 1.6, l’investisseur réserve une partie de son budget pour le consacrer à l’investissement productif (point D) ; toutefois à ce point D, la pente de la courbe d’investissement est plus forte que celle de la courbe d’utilité ; l’investisseur a tout intérêt à accroître son investissement jusqu’au point Y ; en ce point de tangence des 2 courbes, celles- ci sont de même pente ; en outre l’investisseur atteint en ce point une courbe d’utilité plus élevée. Les principes de l’économie financière : le marché des capitaux, le taux d’intérêt et l’investissement. Aux facultés de consommer et de réaliser des investissements productifs, s’ajoute à présent, pour le consommateur, la faculté d’effectuer des placements sur le marché des capitaux. Sur le graphique ci-dessous, la droite Z0’Z1’ représente la droite du marché des capitaux ; sa pente exprime le taux de rendement, c’est-à-dire le coût des capitaux sur ces marchés. Le consommateur qui a réservé une partie de son budget va d’abord placer jusqu’au point D ; toutefois, à ce point,la pente de la droite de marché est plus forte que la pente de sa courbe d’utilité (TMS) : il a donc tout intérêt à placer jusqu’au point Y, là où les pentes sont B compta-excellant.be identiques ; remarquons qu’en ce point Y, point de tangence de la droite de marché avec la courbe d’utilité, le consommateur atteint sa courbe d’utilité la plus élevée. Sur le graphique ci-dessous, les 3 fonctions de consommation, d’investissement productif et de placement sont représentées. Le problème de l’investissement sur un marché de biens et de capitaux se résout en deux temps :  Tout d’abord le consommateur cherche à optimiser son investissement productif en progressant le long de la courbe d’investissement du point B au point D, puis au point Y ; en Y, la pente de la courbe d’investissement est cependant plus forte que celle de la droite de marché : en d’autres termes, l’investissement a un taux de rendement supérieur au taux d’intérêt : l’investisseur emprunte donc sur le marché des capitaux pour financer un investissement supplémentaire et se hisser au point X : c’est en ce point que le rendement de l’investissement est identique au taux d’intérêt.  Dans un second temps, le consommateur cherche à optimiser sa fonction de consommation : au point X, si la droite de marché et la courbe d’investissement sont de même pente, la courbe d’utilité à consommer est plus forte ; le consommateur choisit donc d’emprunter au taux du marché pour financer un surcroît de consommation et atteindre, au point E, une courbe d’utilité plus élevée. Comme on le remarque, les décisions d’investir et de consommer sont prises séparément et indépendamment l’une de l’autre ; tel est l’objet du célèbre « théorème de séparation économique de FISCHER ». Ce théorème est au fondement même de la réalité économique puisqu’il signifie qu’en raison de la séparation des décisions d’investir et de consommer, des individus peuvent diverger par leurs préférences de consommation tout en partageant les mêmes préférences d’investissement, ce qui leur permet naturellement de créer des entreprises. compta-excellant.be compta-excellant.be Mathématiques financières : synthèse des formules. Les valeurs futures : l’accumulation. Combien vaut dans t années 1 € dont on dispose aujourd’hui (temps 0) et que l’on peut placer au taux d’intérêt annuel i ? VFt = VA . (1 + i)t Si i1 i2 i3 …. it , VFt = VA . (1 + i1)1 (1 + i2)1 . …. . (1 + it)1 Les valeurs actuelles: l’actualisation. Combien vaut aujourd’hui (temps 0) 1 € à recevoir dans t années et que l’on ne peut donc pas placer aujourd’hui au taux d’intérêt annuel i ? 1 VA = VFt . ------------ (1 + i)t 1 Si i1 i2 i3 …. it , VA = VFt . ------------------------------------------ (1 + ii)1 . (1 + i2)1 . ….. . (1 + it)1 Le cas des annuités constants: l’accumulation. Quelle est la valeur dans t années de 1 € à recevoir à chaque fin d’année (= annuité A) jusqu’à l’année t sachant que le taux d’intérêt annuel i est constant ? (1 + i)t – 1 VFt = A . -------------- i Le cas des annuités constants: l’actualisation. Quelle est la valeur aujourd’hui de 1 € à recevoir à chaque fin d’année (= annuité A) jusqu’à l’année t, sachant que le taux d’intérêt annuel i est constant ? (1 + i)t – 1 VA = A . -------------- i . (1 + i)t Le cas des remboursements d’emprunts : le remboursement fractionné. Pour un emprunt de 1 € contracté aujourd’hui (temps 0), quel montant constant faut-il verser au prêteur à chaque fin d’année pendant t années pour rembourser totalement cet emprunt au terme de ces t années, sachant que le taux annuel d’intérêt i est constant ? i . (1 + i)t A = VA . ---------------- (1 + i)t – 1 compta-excellant.be Le cas des remboursements d’emprunts : le remboursement en bloc par capitalisation. Pour un emprunt contracté aujourd’hui (temps 0), quel montant constant faut-il verser à chaque fin d’année pendant t années à un fonds de capitalisation productif d’un taux d’intérêt annuel i constant, pour rembourser 1 € au terme de l’année t ? i A = VFt . --------------- (1 + i)t – 1 Applications.  Combien vaudront dans 10 ans 1.000 € dont on dispose aujourd’hui et que l’on peut placer au taux d’intérêt annuel de 8 % ?  Combien valent aujourd’hui 10.000 € à recevoir dans 10 ans et que l’on ne peut donc pas placer aujourd’hui au taux d’intérêt annuel de 10 % ?  Quelle sera la valeur dans 8 ans de 2.000 € à recevoir à chaque fin d’année sachant que le taux d’intérêt annuel constant est de 6 % ?  Quelle est la valeur aujourd’hui de 2.000 € à recevoir à chaque fin d’année pendant 8 ans, sachant que le taux d’intérêt annuel constant est de 6 % ?  Si j’emprunte aujourd’hui 10.000 € ; quel montant constant devrai-je verser à mon banquier à chaque fin d’année durant 10 ans, sachant que le taux d’intérêt annuel constant est de 8 % ? Etablir le tableau d’amortissement (feuille suivante !)  Je souhaite contracter aujourd’hui un emprunt aux conditions suivantes : je souhaite rembourser, en un seul bloc 20.000 € dans 10 ans ; quel montant dois-je verser à chaque fin d’année à un fonds de capitalisation dont le taux d’intérêt annuel constant est de 6 %. compta-excellant.be Tableau d’amortissement. Année Annuité Capital Intérêts Solde restant dû 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totaux - - compta-excellant.be RESOLUTION. Exercice n° 1. Combien vaudront dans 10 ans 1.000 € dont on dispose aujourd’hui et que l’on peut placer au taux d’intérêt annuel de 8 % ? VFt = VA . (1 + i)t VF10 = 1000 x (1 + 0,08)10 = 1000 x 2,158924997 = 2.158,9250 Exercice n° 2. Combien valent aujourd’hui 10.000 € à recevoir dans 10 ans et que l’on ne peut donc pas placer aujourd’hui au taux d’intérêt annuel de 10 % ? 1 VA = VFt . ------------ (1 + i)t VA = 10.000 x 1 / (1 + 0,10)10= 10.000 x 1 / 2,59374246= 3.855,43 Exercice n° 3. Quelle sera la valeur dans 8 ans de 2.000 € à recevoir à chaque fin d’année sachant que le taux d’intérêt annuel constant est de 6 % ? (1 + i)t – 1 VFt = A . -------------- i (1 + 0,06)8 – 1 VF8 = 2000 x ------------------ = 2000 x (0,593848074 / 0,06) = 19.794,9358 0,06 Exercice n° 4. Quelle est la valeur aujourd’hui de 2.000 € à recevoir à chaque fin d’année pendant 8 ans, sachant que le taux d’intérêt annuel constant est de 6 % ? (1 + i)t – 1 VA = A . -------------- i . (1 + i)t (1 + 0,06)8 – 1 VA = 2000 x ----------------------- = 2000 x (0,5938 / 0,0956) = 12.419,5876 0,06 x (1 + 0,06)8 compta-excellant.be Exercice n° 5. Si j’emprunte aujourd’hui 10.000 € ; quel montant constant devrai-je verser à mon banquier à chaque fin d’année durant 10 ans, sachant que le taux d’intérêt annuel constant uploads/Finance/ mathematique-financiere-pdf.pdf