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Statistique descriptive ECS 1 STATISTIQUE DESCRIPTIVE I – Vocabulaire de la sta

Statistique descriptive ECS 1 STATISTIQUE DESCRIPTIVE I – Vocabulaire de la statistique descriptive 1) Population La statistique descriptive est une science qui recueille et analyse des informations sur un ensemble fini, dont le cardinal est souvent très grand. Définition : L’ensemble étudié s’appelle une population. Les éléments de cet ensemble s’appellent des individus. La population étant en général très grande, on étudie souvent une partie seulement. Définition : Un échantillon est une partie de la population. Le cardinal de cette partie s’appelle la taille de l’échantillon. Dans la suite, Ω désignera la population ou l’échantillon observé. Plus tard (en seconde année), on distinguera les deux car on voudra, à partir d’observations sur l’échantillon, déduire des propriétés de la population entière. 2) Caractère statistique La question est maintenant : qu’est-ce qu’on étudie sur cette population ? Exemple : la couleur des yeux, la taille, le poids, le nombre de frères et sœurs, … Définition : On appelle caractère statistique ou variable statistique toute application X définie sur la population Ω. Si l’application X est à valeurs dans , on dira que le caractère est quantitatif. Sinon, on dira que le caractère est qualitatif. Le premier exemple est qualitatif, alors que les autres sont quantitatifs. 3) Etude du caractère Les différentes étapes d’une étude statistique sont : • Recueillir les données. • Les classer car on les obtient « en vrac ». • Les représenter graphiquement pour avoir un aspect visuel. • Analyser ces données, c’est-à-dire les résumer par quelques nombres significatifs. Pour classer, la première idée est de considérer toutes les valeurs possibles du caractère, donc ( ) X Ω et de regrouper tous les éléments ω qui correspondent à la même valeur. Par exemple si l’on observe 10 individus numérotés de 1 à 10 : i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( ) i X ω 2 5 5 8 4 5 4 4 5 8 On renumérote et on va classer sous la forme : j 1 2 3 4 j x 2 4 5 8 j n 1 3 4 2 j n représente le nombre d’individus dont le caractère prend la valeur j x . C’est l’effectif de la classe j x . L’ensemble des couples ( , ) j j x n est une série statistique. Cependant, dans le cas d’un caractère quantitatif, lorsque les données sont trop nombreuses ou trop proches, on les regroupe en classes qui peuvent être des intervalles de . On dira que le caractère est quantitatif continu par opposition aux autres qui sont quantitatifs discrets. Cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011 Statistique descriptive ECS 1 II - Variable qualitative 1) Classement des données Pour une variable qualitative, chaque classe correspond à une valeur du caractère. Le nombre d’individus qui appartiennent à cette classe s’appelle l’effectif de la classe. La somme des effectifs de toutes les classes est l’effectif total de la population. Exemple : Moyen de transport pour le trajet domicile - travail. Le tableau suivant donne les effectifs de chaque classe. Recopier le tableau et calculer l’effectif total. Classe Car - Bus Auto - Moto Vélo A pied Tram - Métro Effectif 162 204 18 72 144 L’intérêt d’une étude statistique étant de pouvoir réutiliser les résultats obtenus pour d’autres populations, ce n’est pas l’effectif d’une classe qui importe, mais la proportion d’individus qui appartiennent à cette classe. Définition : On appelle fréquence de la classe le quotient de l’effectif de la classe par l’effectif total. La somme des fréquences de toutes les classes est égale à 1. Exemple : la fréquence de la classe « Vélo » est 03 , 0 600 18 = . Il y a 3% des employés qui viennent à vélo. Ajouter au tableau précédent une ligne indiquant les fréquences de chaque classe et vérifier (aux erreurs d’approximation près) que la somme des fréquences vaut 1. 2) Représentations graphiques La représentation la plus courante est le diagramme circulaire : l’angle du secteur représentant la classe est proportionnel à l’effectif (et donc à la fréquence). Exemple : l’angle associé à la classe « Vélo » serait de ° = ° × 8 , 10 360 03 , 0 . Faire tout le diagramme circulaire de l’exemple précédent. Une autre représentation possible est le diagramme en bâtons : la hauteur du bâton représentant la classe est proportionnelle à son effectif. 3) Analyse de la variable statistique On ne peut définir qu’une seule caractéristique. Définition : On appelle mode ou classe modale la classe (ou les classes) qui a le plus grand effectif. Exemple : Déterminer la classe modale de l’exemple précédent. III - Variable quantitative discrète 1) Classement des données Pour une variable quantitative discrète, chaque classe correspond aussi à une valeur du caractère, mais qui a une valeur numérique réelle i x . Le nombre d’individus qui appartiennent à cette classe s’appelle l’effectif i n de la classe. La somme des effectifs de toutes les classes est l’effectif total de la population : ∑ = = p i i n n 1 (s’il y a p classes). La fréquence de la classe est le quotient de son effectif par l’effectif total : n n f i i = . On supposera que les classes sont numérotées par ordre croissant de la valeur du caractère : p x x x < < < ... 2 1 . L’effectif i n est le nombre d’individus ω tels que i x X = ω) ( . La famille p i i i n x ≤ ≤ 1 ) , ( est appelée série statistique (discrète). Cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011 Statistique descriptive ECS 1 Exemple : On a relevé les notes obtenues à un devoir. Le tableau suivant donne les effectifs de chaque classe. Classe i x 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Effectif i n 2 0 3 4 3 5 7 4 3 2 2 1 Dans cet exemple, il y a 12 classes : 12 = p . La 5ème modalité (valeur du caractère dans la classe) est 8 5 = x et l’effectif correspondant est 3 5 = n : il y a 3 élèves qui ont eu 8 au devoir. Recopier le tableau, calculer l’effectif total et compléter le tableau en calculant les fréquences. Définition : On appelle effectif cumulé croissant de la i-ème classe : ∑ = = i k k i n N 1 et fréquence cumulée croissante : ∑ = = = i k k i i f n N F 1 . L’effectif cumulé croissant i N est le nombre d’individus ω tels que i x X ≤ ω) ( . On peut remarquer que 1 = p F . Exemple : 12 5 = N , donc il y a 12 élèves qui ont eu une note inférieure ou égale à 8 et 33 , 0 5 = F , donc il y a 33% des élèves qui ont eu une note inférieure ou égale à 8. Compléter le tableau en calculant les effectifs cumulés croissants, ainsi que les fréquences cumulées correspondantes. 2) Représentations graphiques On se place dans un repère orthogonal et on trace à partir du point de coordonnées ) 0 , ( i x un segment vertical de hauteur proportionnelle à l’effectif i n (et donc à la fréquence i f ). On obtient ainsi le diagramme en bâtons des effectifs (et des fréquences). La ligne polygonale qui joint les sommets des bâtons est appelée polygone des effectifs (ou des fréquences). On définit de même le diagramme en bâtons des effectifs (ou des fréquences) cumulés ainsi que le polygone des effectifs (ou des fréquences) cumulés. Exemple : Tracer le diagramme en bâtons et le polygone des effectifs, puis sur une autre figure le diagramme en bâtons et le polygone des effectifs cumulés croissants. 3) Analyse de la série statistique a) Caractéristiques de position Il s’agit de résumer la série statistique par un nombre qui donne une image de son comportement. On peut d’abord penser à la valeur prise le plus souvent. Définition : Le mode est la valeur (ou les valeurs) de la variable pour laquelle l’effectif est maximal. La (ou les) classe modale est la classe correspondante. Exemple : Calculer le mode de la série précédente. Le mode donne un renseignement intéressant, mais le simple fait qu’il y en ait plusieurs ne permet pas de l’utiliser valablement. On peut ensuite penser à la valeur qui partage la population en deux parties égales. Définition : La médiane est une valeur m de la variable telle que le nombre d’individus ω tels que m X < ω) ( soit égal au nombre d’individus ω tels que m X > ω) ( . Cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011 Statistique descriptive ECS 1 Détermination uploads/Geographie/ 16-statistique-descriptive.pdf