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NOTES DE COURS DE l’UV MT31 MATHÉMATIQUES : APPLICATIONS Automne 2004 Jérôme BA

NOTES DE COURS DE l’UV MT31 MATHÉMATIQUES : APPLICATIONS Automne 2004 Jérôme BASTIEN Document compilé le 12 janvier 2011 Ce document est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons : Paternité - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modiﬁcation ; 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ ou en français http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.fr Table des matières Avant-propos iii Un peu de poésie mathématique 1 Chapitre 1. Dérivées (rappels) 5 1.1. Notions de dérivées 5 1.2. Règles de dérivations 7 Chapitre 2. Analyse vectorielle 9 2.1. Objectifs 9 2.2. Notions de diﬀérentielles 9 2.3. Déﬁnition des diﬀérents systèmes de coordonnées et des repères associés 14 2.4. Déﬁnitions des diﬀérents opérateurs diﬀérentiels 19 2.5. Un dernier avertissement 41 Chapitre 3. Systèmes linéaires et matrices 43 3.1. Rappels 43 3.2. Les systèmes linéaires 43 3.3. Application à la RDM 49 Chapitre 4. Intégrales multiples 55 4.1. Introduction 55 4.2. Rappels sur les intégrales simples 55 4.3. Intégrales doubles 56 4.4. Intégrales triples 62 4.5. Applications à la résistance des matériaux 65 Chapitre 5. Intégrales curvilignes et surfaciques (exemples) 71 5.1. Un exemple de calcul de circulation d’un champ de vecteur 71 5.2. Un exemple de calcul de ﬂux d’un champ de vecteur 73 Chapitre 6. Applications des diﬀérentielles : calculs d’incertitudes 77 6.1. Introduction 77 6.2. Incertitudes 78 6.3. Incertitudes absolues 80 Chapitre 7. Équations diﬀérentielles 81 7.1. Équations diﬀérentielles d’ordre un 81 7.2. Équations diﬀérentielles d’ordre deux 83 i ii TABLE DES MATIÈRES Chapitre 8. Diagonalisation 87 8.1. Étude d’un exemple 87 8.2. Généralisation 89 8.3. Une application : résolution d’un système diﬀérentiel 91 Annexe A. Exemple et preuve de la proposition 2.38 93 A.1. Un exemple de calcul 93 A.2. La preuve générale 94 Annexe B. Démonstration partielle de la proposition 2.50 99 Énoncé 99 Corrigé 100 Annexe C. Expressions de diﬀérents opérateurs diﬀérentiels dans les systèmes de coordonnées 103 C.1. Coordonnées cartésiennes (rappels) 103 C.2. Coordonnées polaires 104 C.3. Coordonnées cylindriques 104 C.4. Coordonnées sphériques 104 C.5. Coordonnées sphériques modiﬁées 105 Annexe D. Changement de variable pour les intégrales 107 D.1. Intégrales simples 107 D.2. Intégrales doubles 109 D.3. Intégrales triples 110 Annexe E. Intégrales curvilignes et surfaciques (théorie) 111 E.1. Intégrale curviligne et circulation d’un champ de vecteur 111 E.2. Intégrale de surface et ﬂux d’un champ de vecteur 118 E.3. Théorème intégraux 125 E.4. Quelques exercices 127 Annexe F. Quelques exercices supplémentaires sur les équations diﬀérentielles 131 Énoncés 131 Corrigés 131 Annexe G. Quelques exercices supplémentaires sur la diagonalisation 133 Énoncés 133 Corrigés 135 Annexe H. Élements de preuve de la proposition 4.23 141 Annexe I. Nombres complexes 145 I.1. Quelques rappels théoriques 145 I.2. Quelques exercices 150 I.3. Un problème de géométrie 153 Annexe. Bibliographie 157 UTBM Automne 2004 notes de cours de l’UV MT31 Jérôme BASTIEN Avant-propos Ces notes de cours constituent un support de cours pour l’UV MT31 (Automne 2004). Quelques annexes (non nécessairement traitées en cours) contiennent des compléments théoriques, qui pourront être consultés. En s’appuyant sur de nombreux exemples, ce cours a pour objectif de donner quelques applications de théories mathématiques. Aﬁn de comprendre comment la physique a pu contribuer à la création ou à l’amélioration de ces théories, on n’hésitera pas à approfondir parfois les concepts mathématiques sous-jacents. Cette UV a été créée, entre autres, pour répondre aux besoins mathématiques des enseignements de physique, en collaboration avec les enseignants1 mais aussi avec les étudiants2. N’hésitez donc pas à faire part de vos remarques pour signaler les lacunes ou les parties inutiles de cette UV ! Quelques références bibliographique (voir page 157) sont données au cours des diﬀérents chapitres, pour ceux qui apprécieraient des approfondissements. Je vous invite à consulter en outre deux ouvrages fort bien faits. Le premier [Str91] a le mérite de présenter les notions de façon très «Anglo-saxonne»3 et l’ensemble de cet ouvrage (excepté peut-être le chapitre 10) est tout à fait accessible aux étudiants de l’UV MT31 et les notions présentées correspondent en partie à celles de cette UV. Comme le reste de l’ouvrage, la conclusion est fort bien faite et incite le lecteur à découvrir des tas de choses en mathématique ! Le second [Vél00] présente simplement et parfois ludiquement un certain nombres de notions de mathématiques. On pourra consulter les chapitres 3, 8, 9, 12 et 13, éventuellement les chapitres 1, 2, 4, 5, 6, 7 et 10 (pour une étude des complexes). Le lecteur pourra aussi consulter le chapitre 11 (plus diﬃcile). Ce polycopié de cours est disponible en ligne sur le site http://utbmjb.chez-alice.fr/UTBM/index.html On y trouvera aussi les sujets de TD, de TP et des archives de sujets et de corrigés d’examens. Jérôme BASTIEN 1Je remercie particulièrement Monsieur Joël Mazouet, initiateur de la création des UV de remise à niveau et Messieurs Patrick Gougeon et Jean-Noël Martin qui m’ont fait part de nombreuses remarques pour l’élaboration et le suivi du contenu pédagogique de cette UV. 2Je remercie aussi les étudiants de l’uv MT31 qui m’ont fait part de leurs remarques. 3Autrement dit de façon inductive, soit encore allant du particulier au général. On découvre la théorie au fur et à mesure des besoins, en partant d’exemples concrets. Cette présentation inductive s’oppose à la présentation déductive, très à la mode en France, pays de Descarte, qui consiste à partir du général pour aller au particulier. Cette façon de présenter, qui a vu sont apogée avec les Bourbakis (voir [Mas02]), est plutôt celle utilisée en classes préparatoires .... iii Un peu de poésie mathématique Les mathématiques ne sont pas toujours tristes, comme le montrent ces extraits suivants : Raymond Queneau Quelques remarques sommaires relatives aux propriétés aérodynamiques de l’addition Dans toutes les tentatives faites jusqu’à nos jours pour démontrer que 2 + 2 = 4, il n’a jamais été tenu compte de la vitesse du vent. L’addition des nombres entiers n’est en eﬀet possible que par un temps assez calme pour que, une fois posé le premier 2, il reste en place jusqu’à ce que l’on puisse poser ensuite la petite croix, puis le second 2, puis le petit mur sur lequel on s’assoit pour réﬂéchir et enﬁn le résultat. Le vent peut ensuite souﬄer, deux et deux font quatre. Que le vent commence à s’élever, et voilà le premier nombre par terre. Que l’on s’obstine, il en advient de même du second. Quelle est la valeur de + ? Les mathématiques actuelles ne sont pas encore en mesure de nous répondre. Que le vent fasse rage, alors le premier chiﬀre s’envole, puis la petite croix, et ainsi de suite. Mais supposons qu’il tombe après la disparition de la petite croix, alors on pourrait être amené à écrire l’absurdité 2 = 4. Le vent n’emporte pas seulement, il apporte aussi. L’unité, nombre particulièrement léger et qu’une brise suﬃt à déplacer peut ainsi retomber dans une addition où il n’a que faire, à l’insu même du calculateur. C’est ce dont avait eu l’intuition le mathématicien russe Dostoïewsky lorsqu’il a osé déclaré qu’il avait un faible pour 2 + 2 = 5. Les règles de la numération décimale prouvent également que les Hindous ont dû probablement se formuler plus ou moins inconsciemment notre axiome. Le zéro roule avec facilité, il est sensible au moindre souﬄe. Aussi n’en tient-on pas compte lors- qu’il est placé à gauche d’un nombre : 02 = 2, car le zéro fout toujours le camp avant la ﬁn de l’opération. Il ne devient signiﬁcatif qu’à droite, car alors les chiﬀres précédents peuvent le retenir et l’empêcher de s’envoler. Aussi a-t-on 20 ̸= 2, tant que le vent ne dépasse pas quelques mètres à la seconde. Nous tirerons maintenant quelques conséquences pratiques de ces considérations ; dès que l’on craint les perturbations atmosphériques, il est bon de donner à son 1 2 UN PEU DE POÉSIE MATHÉMATIQUE addition une forme aérodynamique. Il est également conseillé de l’écrire de droite à gauche et de commencer le plus près possible du bord de la feuille de papier. Si le vent fait glisser l’opération en cours on peut, presque toujours, la rattraper avant qu’elle n’atteigne la marge. On obtiendra ainsi, même avec une tempête d’équinoxe, des résultats comme celui-ci : + = Exercices de styles (extraits) «Le narrateur rencontre, dans un autobus, un jeune homme au long cou, coiﬀé d’un chapeau orné d’une tresse au lieu de ruban. Le jeune homme échange quelques mots assez vifs avec un autre voyageur, puis s’asseoir à une place devenue libre. Un peu plus tard, le narrateur rencontre le même jeune homme en grande conversation avec un ami qui lui conseille de faire remonter le bouton supérieur de son pardessus.» Morceaux choisis de cette brève histoire racontée 99 fois de 99 manières diﬀérentes par Queneau. Analyse Logique Autobus. Plate-forme. Plate-forme d’autobus. C’est le lieu. Midi. Environ. Environ midi. C’est le temps. Voyageurs. Querelle. Une querelle de voyageurs. C’est l’action. Homme jeune. Chapeau. Long cou maigre. Un jeune homme avec un chapeau et un galon tressé autour. C’est le personnage principal. Quidam. Un quidam. Un quidam. C’est le personnage second. Moi Moi. Moi. C’est le tiers personnage. uploads/Geographie/ analyse.pdf