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Institut Camille Jordan UMR 5208 du CNRS G´ eom´ etrie de l’intrication quantiq

Institut Camille Jordan UMR 5208 du CNRS G´ eom´ etrie de l’intrication quantique Guillaume Aubrun Habilitation ` a diriger des recherches Universit´ e Claude Bernard Lyon 1 Sp´ ecialit´ e : Math´ ematiques N. d’ordre 0182017 G´ eom´ etrie de l’intrication quantique Habilitation ` a diriger des recherches Soutenue publiquement le 27 mars 2017 par Guillaume Aubrun devant le Jury compos´ e de : M. Franck Barthe IMT, Toulouse Rapporteur M. Benoˆ ıt Collins Universit´ e de Kyoto Examinateur M. Christophe Garban ICJ, Lyon Examinateur Mme Alice Guionnet UMPA, ENS Lyon Examinatrice M. Iordanis Kerenidis LIAFA, Paris 7 Examinateur M. Gilles Pisier IMJ, Paris 6 et Texas A&M Examinateur M. Quanhua Xu LMB, Besan¸ con Rapporteur Avant-propos Introduction Ce mémoire d’habilitation à diriger des recherches synthétise les activités de recherche que j’ai eﬀectuées entre 2006 et 2016 en tant que maître de conférences à l’Université Claude Bernard Lyon 1. Mes travaux s’inscrivent à l’interface de l’analyse fonctionnelle, des pro- babilités et de la théorie quantique de l’information. Les liens entre l’ana- lyse fonctionnelle et la physique quantique sont évidents, ne serait-ce que par l’omniprésence de l’espace de Hilbert dans le formalisme quantique. En outre, des connexions plus surprenantes et très fécondes ont été récemment mises à jour : par exemple entre les inégalités de Bell et les espaces d’opéra- teurs, ou entre le problème de Connes sur les algèbres de von Neumann et la question, soulevée par Tsirelson, de savoir comment modéliser la localité en physique quantique. La branche de l’analyse fonctionnelle dont je suis spécialiste est la théo- rie locale des espaces de Banach, qui étudie les propriétés, notamment géo- métriques, des espaces vectoriels normés de dimension ﬁnie mais grande. J’utiliserai plutôt la terminologie de géométrie des convexes, aﬁn d’insister sur l’importance jouée par certains convexes dépourvus de symétrie centrale et qui ne sont donc pas directement reliés à une norme, ce qui est parfois source de diﬃcultés supplémentaires. De tels ensembles apparaissent natu- rellement en théorie quantique de l’information, par exemple pour décrire le phénomène de l’intrication quantique. Ces ensembles sont de dimension gigantesque : il y a 65535 degrés de liberté dans la description de l’état d’un octet quantique. C’est un cadre idéal pour mettre en œuvre les méthodes de géométrie des convexes. Les phénomènes asymptotiques de la géométrie des convexes sont indis- sociables des probabilités : le ﬂéau de la grande dimension, qui rend souvent les approches numériques ou combinatoires irréalistes, devient une bénédic- tion lorsque l’on utilise la méthode probabiliste en laissant le hasard choisir 1 pour nous là où la complexité dépasse notre raison. Les probabilités ne sont pas une ﬁn en soi, mais un outil, puissant et multiforme, pour appréhender la grande dimension. Cet aspect est présent dans l’ensemble de mes travaux. Décrivons maintenant la composition du mémoire. Le Chapitre 1 pré- sente des résultats classiques de géométrie des convexes, dont le théorème de Dvoretzky sur l’existence de sections presque euclidiennes, et son corol- laire dû à Figiel–Lindenstrauss–Milman qui implique que tout convexe est, d’une certaine manière, complexe. Le choix des résultats présentés est bien sûr orienté par les applications ultérieures. Le Chapitre 2 introduit le concept d’intrication quantique et l’ensemble convexe, noté Sep, qui lui est associé. On déﬁnit également certaines notions élémentaires liées : canaux quantiques, transposition partielle. Le Chapitre 3 étudie l’ensemble Sep avec un œil de géomètre des convexes. On estime en particulier diﬀérents invariants géométriques qui lui sont asso- ciés. Certaines de ces estimations sont étonnamment subtiles et nécessitent de recourir à des résultats généraux valides pour tous les convexes. Le cœur de ce mémoire est le Chapitre 4, où l’on utilise les informations obtenues au chapitre précédent pour démontrer des théorèmes en théorie quantique de l’information. On obtient ainsi une nouvelle preuve, géomé- trique, de la violation de l’additivité de la capacité des canaux quantiques à transmettre de l’information classique. On démontre également, géométri- quement, une borne inférieure sur la complexité de l’intrication. On obtient enﬁn des résultats d’approximation parcimonieuse pour des mesures quan- tiques et pour des canaux mélangeants. Le Chapitre 5 est consacré à l’étude des propriétés des états quantiques aléatoires. On démontre l’existence, en fonction de la dimension de l’envi- ronnement, d’une transition de phase pour la dichotomie intrication vs sépa- rabilité, mais aussi pour ses relaxations naturelles que sont la transposition partielle et le réalignement. On obtient ainsi une image précise des aspects génériques de l’intrication en grande dimension. J’ai enﬁn regroupé dans le Chapitre 6 une brève description de mes autres travaux. Certains sont liés au phénomène de la catalyse quantique et à la propriété de multiplicativité des normes ℓp. Un article étudie la fonction maximale associée à des cubes de grande dimension. En règle générale, je ne donne pas de preuve des résultats énoncés, mais je commente de façon informelle les idées principales sous-jacentes. Une grande partie du matériel présenté ici se trouve aussi, de manière beaucoup plus détaillée, dans le livre Alice and Bob meet Banach, coécrit avec Stanisław Szarek, qui est en voie d’être publié et dont la rédaction a été une de mes occupations majeures de ces dernières années. 2 Remerciements Je souhaite remercier l’ensemble des membres du jury, et tout particu- lièrement les rapporteurs (Franck Barthe, Patrick Hayden et Quanhua Xu) pour avoir accepté de consacrer du temps à la lecture du manuscrit. Je voudrais également remercier toutes les personnes avec qui j’ai eu l’oc- casion de travailler au cours de ces dix dernières années : mes co-auteurs (au premier rang desquels se trouve Staszek Szarek), mes collègues mathémati- ciens et administratifs de l’Institut Camille Jordan et d’ailleurs, et aussi mes étudiants, de la licence jusqu’au doctorat. Merci enﬁn à mes amis et à ma famille. Liste des travaux de recherche J’ai adopté la convention suivante pour la bibliographie : les travaux dont je suis auteur ou co-auteur, listés ci-après, sont cités par une référence de la forme [An] où n est un nombre. Les autres citations, de la forme [n], sont regroupées en ﬁn de manuscrit. [A1] G. Aubrun et S. Szarek. Alice and Bob meet Banach. The Interface of Asymptotic Geometric Analysis and Quantum Information Theory. Ame- rican Mathematical Society, Providence, RI, à paraître dans la série Ma- thematical Surveys and Monographs. [A2] G. Aubrun et S. Szarek. Dvoretzky’s Theorem and the Complexity of Entanglement Detection, Discrete Analysis 1 (2017). [A3] G. Aubrun, Quantum entanglement in high dimensions, notes de cours d’une école d’hiver à Métabief (décembre 2014), à paraître dans Lecture Notes in Mathematics. [A4] G. Aubrun, F. Sukochev et D. Zanin. Catalysis in the trace class and weak trace class ideals, Proc. AMS 144, 2461–2471 (2016). [A5] G. Aubrun et C. Lancien. Zonoids and sparsiﬁcation of quantum measu- rements, Positivity 20, 1–23 (2016). [A6] G. Aubrun et C. Lancien. Locally restricted measurements on a multi- partite quantum system : data hiding is generic, Quant. Inf. Comput. 15, 513–540 (2015). [A7] G. Aubrun. Is a random state entangled?, XVIIth International Congress on Mathematical Physics. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 534–541 (2014). [A8] G. Aubrun, S. Szarek et D. Ye. Entanglement thresholds for random induced states, Comm. Pure Appl. Math. 67, 129–171 (2014). 3 [A9] G. Aubrun et I. Nechita. Realigning random states, J. Math. Phys. 53, 102210 (2012). [A10] G. Aubrun, S. Szarek et D. Ye. Phase transitions for random states and a semi-circle law for the partial transpose, Phys. Rev. A 85, 030302 (2012). [A11] G. Aubrun. Partial transposition of random states and non-centered se- micircular distributions, Random Matrices Theory and Appl. 1, 1250001 (2012). [A12] G. Aubrun et I. Nechita. The multiplicative property characterizes ℓp and Lp norms, Conﬂuentes Math. 3, 637 (2011). [A13] G. Aubrun, S. Szarek et E. Werner. Hastings’s additivity counterexample via Dvoretzky’s theorem, Comm. Math. Phy. 305, 85–97 (2011). [A14] G. Aubrun, S. Szarek et E. Werner. Non-additivity of Rényi entropy and Dvoretzky’s theorem, J. Math. Phys. 51, 022102 (2010). [A15] G. Aubrun. Maximal inequality for high-dimensional cubes, Conﬂuentes Math. 1, 169–179 (2009). [A16] G. Aubrun. On almost randomizing channels with a short Kraus decom- position, Comm. Math. Phys. 288, 1103–1116 (2009). [A17] G. Aubrun et I. Nechita. Stochastic ordering for iterated convolutions and catalytic majorization, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 45 (3), 611–625 (2009). [A18] G. Aubrun et I. Nechita. Catalytic majorization and ℓp norms, Comm. Math. Phys. 278 133–144 (2008). Les travaux suivants ont été eﬀectués durant ma thèse. [A19] G. Aubrun. Sampling convex bodies : a random matrix approach, Proc. AMS 135, 1293–1303 (2007). [A20] G. Aubrun. Random points in the unit ball of ℓn p, Positivity 10, 755–759 (2006). [A21] G. Aubrun. Tensor product of convex sets and the volume of separable states on N qudits, Phys. Rev. A 73 (2006). [A22] G. Aubrun. A sharp small deviation inequality for the largest eigenvalue of a random matrix, Séminaire de probabilités, volume XXXVIII LNM 1857 (2005). [A23] G. Aubrun et M. Fradelizi, Two-point symmetrization and convexity, Arch. Math. 82, 282–288 (2004). 4 Notations et conventions Les lettres C et c désignent des constantes ﬁnies uploads/Geographie/ g-eom-etrie-de-l-x27-intrication-quantique-institut-camille-jordan.pdf