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Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´

Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2011 Emmanuelle Reny-Nolin Corrig´ e - S´ erie 3 R´ egression lin´ eaire simple Exercice 1 a) b) Voir d). c) i) m´ ethode des moindres carr´ es : ˆ y = 1.95827 + 0.000101x ii) m´ ethode m´ ediane-m´ ediane : ˆ y = −2.03422 + 0.000125x iii) mod` ele quadratique : ˆ y = −2.59311 + 0, 000183x −(1.67 × 10−10)x2 d) e) Normalit´ e mise en doute et variance croissante. 1 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2011 Emmanuelle Reny-Nolin f) Intervalle de conﬁance ` a 99% pour β1 : [0.000046; 0.000156] g) population pr´ evue : 12.0321 marge d’erreur de l’intervalle de conﬁance ` a 95% pour la moyenne : 6.95 marge d’erreur de l’intervalle de pr´ ediction : 34.51. h) Pour estimer la densit´ e de population moyenne en Europe : i) en calculant la densit´ e de chaque pays, puis en faisant la moyenne de ces 27 densit´ es : 0.000166 ii) en calculant la population totale des 27 pays, et en la divisant par la superﬁcie totale des 27 pays : 489/4 329 290 = 0, 000113 iii) en estimant la pente de la droite de r´ egression aux moindres carr´ es : 0, 000101 2 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2011 Emmanuelle Reny-Nolin Exercice 2 a) Sxy = n P i=1 (xi −x)(yi −y) = n P i=1 (xiyi −xiy −yix + xy) = n P i=1 xiyi −y n P i=1 xi −x n P i=1 yi + nxy = n P i=1 xiyi −y(nx) −x(ny) + nxy = n P i=1 xiyi −nx y b) ∂S ∂β1 = 0 si n P i=1 xiyi = ˆ β0 n P i=1 xi + ˆ β1 n P i=1 x2 i En rempla¸ cant ˆ β0 par ˆ β0 = y −ˆ β1x, on obtient : n P i=1 xiyi −y n P i=1 xi = ˆ β1( n P i=1 x2 i −x n P i=1 xi) n P i=1 xiyi −nxy = ˆ β1( n P i=1 x2 i −nx2) c) ˆ β1 = SXY SXX d) Sxy = n P i=1 (xi −x)(yi −y) = n P i=1 (xi −x)yi − n P i=1 (xi −x)y = n P i=1 (xi −x)yi −y n P i=1 (xi −x) = n P i=1 (xi −x)yi −y(0) e) ˆ β1 = SXY SXX = n P i=1 (xi −x)yi n P i=1 (xi −x)2 La principale cons´ equence de cet ´ etat de fait est que ˆ β1 suit une loi normale lorsqu’on suppose que les Yi suivent une loi normale. 3 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2011 Emmanuelle Reny-Nolin Exercice 3 Mod` ele 1 : Long´ evit´ e en fonction de Gestation Mod` ele 2 : Long´ evit´ e en fonction de ln(Gestation) Mod` ele 3 : ln(Long´ evit´ e) en fonction de Gestation Mod` ele 4 : ln(Long´ evit´ e) en fonction de ln(Gestation) a) Selon les quatre graphiques des r´ esidus en fonction de la variable explicative de chaque mod` ele, le mod` ele 4 est clairement celui qui pr´ esente la meilleure relation lin´ eaire, et la variance semble ` a peu pr` es constante pour toutes les valeurs de x. Il faudrait tracer l’histogramme des r´ esidus dans chaque pour v´ eriﬁer si la loi normale apparaˆ ıt comme un bon mod` ele. ‐15 ‐10 ‐5 0 5 10 15 20 25 30 0 100 200 300 400 500 600 700 Résidus x Résidus du modèle 1 en fonction de x ‐15 ‐10 ‐5 0 5 10 15 20 25 30 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 Résidus ln(x) Résidus du modèle 2 en fonction de ln(x) ‐2,5 ‐2 ‐1,5 ‐1 ‐0,5 0 0,5 1 1,5 0 100 200 300 400 500 600 700 Résidus x Résidus du modèle 3 en fonction de x ‐1,5 ‐1 ‐0,5 0 0,5 1 1,5 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 Résidus ln(x) Résidus du modèle 4 en fonction de ln(x) b) Coeﬃcient de d´ etermination multiple r correspond au coeﬃcient de corr´ elation en r´ egression lin´ eaire simple Coeﬃcient de d´ etermination Rˆ 2 R2 1 −SSE SST = SSR SST = r2 Coeﬃcient de d´ etermination Rˆ 2 R2 ajuste 1 −SSE/(n −2) SST/(n −1) = 1 −MSE S2 y 4 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2011 Emmanuelle Reny-Nolin c) Mod` ele 1 : Y en fonction de X R2 = 0.3275 Mod` ele 2 : Y en fonction de ln(X) R2 = 0.3925 Mod` ele 3 : ln(Y) en fonction de X R2 = 0.3535 Mod` ele 4 : ln(Y) en fonction de ln(X) R2 = 0.5883 Le mod` ele 4 est encore privil´ egi´ e, car c’est celui pour lequel la proportion de variabilit´ e expliqu´ ee par le mod` ele est la plus grande. d) σ2 = MSE = 0.2 e) moyenne des r´ esidus =−3.47 × 10−16 ≈0 et ´ ecart-type des r´ esidus = 0.4413. On aurait pu trouver ces valeurs sans utiliser la liste des r´ esidus, car la moyenne des ´ ecarts est toujours 0, et la variance ´ echantillonnale des r´ esidus correspond ` a une petite transformation du MSE, soit n P i=1 (ei −e)2 (n −1) = n P i=1 ([yi −ˆ yi] −0)2 (n −1) = (n −2)MSE (n −1) f) Les r´ esidus normalis´ es sont ce que nous avons appel´ e les z-scores. On peut d´ eduire d´ eduire des z-scores que les r´ esidus les plus extrˆ emes sont ` a 2,436 et 2,285 ´ ecarts-types de la droite et que les 37 autres sont ` a moins de 1.74 ´ ecart-type de la droite. Il n’y a donc pas lieu de craindre un eﬀet de valeurs extrˆ emes. 5 uploads/Geographie/ serie3-corrige 2 .pdf