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La géométrie des tétraèdres Philippe TILLEUIL Collège Sainte Marie - Mouscron S

La géométrie des tétraèdres Philippe TILLEUIL Collège Sainte Marie - Mouscron S.B.P.M. — 27 août 2013 Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 1 / 63 Résumé La géométrie des tétraèdres L’exposé sera consacré à quelques problèmes concernant la géométrie des tétra- èdres (quelconques), en commençant par les comparer à des questions analogues pour les triangles du plan. Ce sera l’occasion de se promener à travers quelques points d’histoire de cette géométrie, et aussi d’en esquisser quelques prolongements actuels. Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 2 / 63 Introduction De quoi sera-t-il question(s) ? On va discuter de la manière de transposer des idées, des dé- ﬁnitions, des propriétés de la géométrie plane pour développer des idées, des déﬁnitions et des propriétés de la géométrie dans l’espace. Plus précisément, la géométrie (élémentaire) des triangles est-elle un (bon) modèle de la géométrie (élémentaire) des tétraèdres ? En bref : Beaucoup de questions ! Quelques réponses . . . La question de la méthode . . . Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 3 / 63 Introduction Y a t-il une histoire ? Ça remonte (évidemment) à Euclide . . . Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 4 / 63 Introduction . . . et Archimède, Euler, etc. Mais laissons parler un « débutant » : « Les pyramides triangulaires tiennent, par leur simplicité, parmi les corps solides le même rang que les triangles parmi les ﬁgures planes ; car de même que toute ﬁgure plane rectiligne peut être regardée comme composée de triangles, de même aussi tout corps solide terminé par des plans peut être supposé formé de pyramides triangulaires ; mais si les Géomètres se sont toujours beaucoup occupés de l’étude des triangles et n’ont cessé d’en approfondir les propriétés, ils n’ont fait, ce me semble, qu’eﬄeurer celles des pyramides triangulaire ; et des principaux Problèmes qu’on peut proposer sur ces sortes de solides, il n’y en a encore qu’un très-petit nombre qui ait été résolu . . . » J. L. Lagrange (1736-1813) Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires — Nouveaux mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin (1773). Cela deviendra un leitmotiv. Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 5 / 63 Introduction De 1773 à 1965( !), il se passe bien des choses concernant la géométrie du tétraèdre et, plus généralement, la géométrie dans l’espace : dans un grand nombre de revues : les Annales de Gergonne, les Annales Scientiﬁques de l’Ecole Normale Supérieure, le Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (ou Journal de Liouville), les Nouvelles Annales de Mathématiques, le Bulletin de la Société Mathématique de France, l’Ensei- gnement Mathématique, les Commentarii Mathematici Helvetici, le Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ou Journal de Crelle), les Mathematische Annalen, le Jah- resbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, l’Archiv der Mathematik und Physik (ou Archives de Grünert), les Elemente der Mathematik, le Duke Mathematical Journal, The Analyst/Annals of Mathematics, l’American Mathematical Monthly, les Philosophical Transactions of the Royal Society of London, le Tohoku Mathematical Journal, Mathesis (1881-1915 & 1922-1965), etc. (→Digizeitschriften, Project Euclid, NUMDAM, Gallica, JSTOR, etc.) Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 6 / 63 Introduction et dans beaucoup de livres : Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 7 / 63 Introduction Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 8 / 63 Introduction (→ DML/Bielefeld, Gallica, BookFinder, etc.) Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 9 / 63 Introduction Un exemple . . . exemplaire L’aire d’un triangle peut se déﬁnir en termes de puzzles, mais en général le volume d’un tétraèdre ne peut pas se déﬁnir ainsi ! →Troisième problème de Hilbert (1900 - 1901 - 1965 - . . . ) Et maintenant ? La géométrie du tétraèdre — et plus généralement, la géométrie de l’espace — a donc été (très) bien étudiée, avant de tomber dans l’oubli. En se plongeant dans la littérature qui s’y rapporte, on peut commencer à comprendre pourquoi : on ne s’y retrouve pas ! Mais cela change, et il se passe actuellement des choses très intéressantes en géométrie des petites dimensions. Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 10 / 63 Introduction Mais dans une classe, à quoi tout cela sert-il ? Un formidable réservoir de questions et de problèmes, de diﬃcultés très variées. A distinguer : les questions de niveau « enseignement secondaire », et les questions — élémentaires ! — mais qui ne sont pas de ce niveau. La fabrication des images →Cabri 3D Un terrain d’expériences pour les idées et les méthodes : - l’importance de la géométrie des ﬁgures, - l’intérêt d’une méthode inductive : les questions « naturelles », - la critique et la reconstruction des déﬁnitions, - la convergence/divergence synthétique-vectoriel, - etc. (Re-)construire de la géométrie dans ma tête, avant d’essayer d’en intro- duire dans celle des élèves. Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 11 / 63 Introduction Au travail ! La géométrie des triangles est-elle un (bon) modèle de la géométrie des tétraèdres ? Beaucoup de questions ! Quelques réponses . . . La question de la méthode . . . Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 12 / 63 Qu’est-ce qu’un tétraèdre ? Qu’est-ce qu’un tétraèdre ? Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 13 / 63 Qu’est-ce qu’un tétraèdre ? Présentation des ﬁgurants I. Présentation des ﬁgurants ∂(ABC) = BC −AC +AB ∂(ABCD) = BCD −ACD + ABD −ABC Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 14 / 63 Qu’est-ce qu’un tétraèdre ? Des exemples II. Des exemples 1. Qu’est-ce qui correspond à un triangle équilatéral ? Un tétraèdre régulier . . . Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 15 / 63 Qu’est-ce qu’un tétraèdre ? Des exemples II. Des exemples 1. Qu’est-ce qui correspond à un triangle équilatéral ? Un tétraèdre régulier . . . Question Comment dessiner (correctement) un tétraèdre régulier ? Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 15 / 63 Qu’est-ce qu’un tétraèdre ? Des exemples 2. Qu’est-ce qui correspond à un triangle rectangle ? Un tétraèdre trirectangle . . . Question Quelle peut être la forme de la face non triangle rectangle d’un tétraèdre trirectangle ? Question Existe-t-il un tétraèdre dont toutes les faces sont des triangles rectangles ? Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 16 / 63 Qu’est-ce qu’un tétraèdre ? Des exemples . . . ou un tétraèdre quadrirectangle, ou orthoschème Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 17 / 63 Qu’est-ce qu’un tétraèdre ? Des exemples 3. Qu’est-ce qui correspond à un triangle isocèle . . . ou équilatéral ? Si on s’intéresse aux propriétés des faces, ou des arêtes . . . Question Caractériser les tétraèdres dont les périmètres des faces triangulaires sont constants. Question Caractériser les tétraèdres dont les aires des faces triangulaires sont constantes. →tétraèdres isocèles, ou équifaciaux. Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 18 / 63 Qu’est-ce qu’un tétraèdre ? Des exemples 4. Périls La botanique des tétraèdres se révèle celle d’une jungle, dans laquelle il est prématuré — ou même dangereux ! — de trop s’aventurer. Le foisonnement des détails, propriétés remarquables, etc. a, de plus, probablement tué le sujet (cfr. la période après 1900 . . . ) 5. Des contre-exemples, pour d’autres questions Qu’est-ce qu’un polyèdre régulier convexe ? Un tétraèdre isocèle a toutes ses faces isométriques ; le « double tétraèdre régulier » n’est formé que de triangles équilatéraux, etc. Tous les polyèdres sont-ils tétraédralisables, comme le pensait Lagrange ? Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 19 / 63 Qu’est-ce qu’un tétraèdre ? Un fantôme précieux III. Un fantôme précieux Un cube permet de réaliser un représentation ﬁdèle — et utile ! — d’un tétraèdre régulier. Cela n’est pas limité au tétraèdre régulier ! C’est ce qu’on appelle le parallélipipède-enveloppe du tétraèdre. Il n’a pas de « correspon- dant triangulaire » ! Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 20 / 63 Qu’est-ce qu’un tétraèdre ? Un fantôme précieux Le parallélipipède-enveloppe d’un tétraèdre mérite qu’on s’y intéresse : il est utile ! Question Dessiner et caractériser le parallélipipède-enveloppe d’un tétraèdre trirectangle. Question Dessiner et caractériser le parallélipipède-enveloppe d’un tétraèdre quadrirectangle. Question Caractériser le parallélipipède-enveloppe d’un tétraèdre isocèle. Le parallélipipède-enveloppe parle aux arêtes gauches du tétraèdre ! Philippe TILLEUIL La géométrie des tétraèdres S.B.P.M. — 27 août 2013 21 / 63 Qu’est-ce qu’un tétraèdre ? Plus simple qu’un tétraèdre ? IV. Plus simple qu’un tétraèdre ? Un tétraèdre est formé de 3 quadrilatères gauches qui sont « bien enchaînés ». Philippe TILLEUIL La géométrie des uploads/Geographie/ tetraedres-conf-sbpm-2013-sans-decoupage.pdf