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1 Corrigé du devoir 17 Exercice 1 1. La matrice S est symétrique réelle, donc d

1 Corrigé du devoir 17 Exercice 1 1. La matrice S est symétrique réelle, donc diagonalisable dans Mn(R). Soient λ1, . . . , λn ses valeurs propres (non nécessairement distinctes). Comme S est symétrique réelle, on peut écrire D = tP S P avec P ∈On(R) et D = diag (λ1, . . . , λn). On a donc S = P D tP. On a ainsi, pour tout X ∈Mn,1(R), tXSX = t(PX)D (PX) = n X i=1 λi y 2 i , où Y = PX. Comme P est inversible, l’application X 7→PX est un automorphisme de Mn,1(R), et par conséquent X ∈Mn,1(R)\ {0} ⇐ ⇒Y ∈Mn,1(R)\{0}. Si toutes les valeurs propres de S sont strictement positives, si X ∈Mn,1(R)\{0}, on a au moins un des yi non nuls et donc tXSX > 0. Si, pour tout X ∈Mn,1(R)\{0}, on a tXSX > 0. Soit λ une valeur propre et X un vecteur propre associé. Comme SX = λ X, on en déduit que λ tXX > 0. Comme tXX = ∥X∥2 > 0, car X ̸= 0, on a λ > 0. S ∈S++ n (R) si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. 2. a. La matrice tMM est une matrice symétrique réelle. De plus, pour X ∈Mn,1(R)\{0}, tXtMMX = t(MX) MX = ∥MX∥2 Comme M est inversible et que X est non nul, on a M X non nul. Donc ∥MX∥2 > 0. Ainsi tXtMMX > 0 Donc tMM est symétrique déﬁnie positive. b. La matrice tMM est donc diagonalisable dans Mn(R) et toutes ses valeurs propres sont strictement positives. Notons ses valeurs propres λ1, . . . , λn. Il existe donc P ∈On(R) telle que tP (tMM)P = D, soit tMM = PD tP, avec D = diag (λ1, . . . , λn) Posons alors ∆= diag ( p λ1, . . . , p λn) et S = P∆tP On a S2 = P∆tP P∆tP = P∆2 tP = PD tP = tMM De plus S est symétrique réelle, semblable à ∆, donc ses valeurs propres sont stictement positives. Donc S ∈ S++ n (R). Il existe S ∈S++ n (R) telle que tMM = S2 2 c. On a det S = det ∆= n Y i=1 p λi > 0. Donc S est inversible. Posons R = MS−1. Il vient tRR = t(S−1) tMM S−1 = S−1 S2 S−1 = In Donc R est orthogonale. d. On a ﬁnalement obtenu M = RS, avec R ∈On(R) et S ∈S++ n (R). Si M ∈GLn(R), il existe R ∈On(R) et S ∈S++ n (R) telle que M = RS. 3. a. La matrice Σ est symétrique réelle, donc diagonalisable dans Mn(R). Sa trace est la somme de ses valeurs propres. Tr(Σ) = n X i=1 λi. b. La matrice Σ est symétrique réelle, donc il existe donc P ∈On(R) telle que tP Σ P = D, avec D matrice diagonale. Il vient alors Q Σ = Q P D tP, puis, par propriété de la trace, Tr (Q Σ) = Tr (Q P D tP) = Tr (tP Q P D) = Tr(Q1 D) où la matrice Q1 = tP Q P est orthogonale, car c’est le produit de trois matrices orthogonales. En notant Q1 = qi,j 1≤i,j≤n, on obtient : Tr (Q Σ) = Tr (Q1 D) = n X i=1 qi,i λi ≤ n X i=1 qi,i λi ≤ n X i=1 λi = Tr Σ, car λi ≥0, et la matrice Q1 étant orthogonale, on a qi,i ≤1 pour tout i. c. L’inégalité du (b) est valable pour toute Q ∈On(R) , et on a une égalité lorsque Q = In. On en déduit que Tr Σ = max Q∈On(R) Tr (Q Σ) = sup Q∈On(R) Tr (Q Σ) sup Q∈On(R) h Tr (Q Σ) i = Tr(Σ). 4. a. La matrice A = Åa b c d ã appartient à H2 si, et seulement si, a, b, c et d sont dans {−1, 1} et ab + cd = 0. On obtient huit cas possibles : Å−1 1 1 1 ã , Å1 −1 1 1 ã , Å1 1 1 −1 ã , Å 1 1 −1 1 ã Å 1 −1 −1 −1 ã , Å−1 1 −1 −1 ã , Å−1 −1 −1 1 ã , Å−1 −1 1 −1 ã 3 b. i. Soit A ∈Hn. La matrice A′ = A √n a ses vecteurs colonnes deux à deux orthogonaux comme A. De plus, en divisant par √n, les vecteurs colonnes de A′ deviennent de norme 1. Donc A′ ∈On(R), donc t(A′) A′ = In. On en déduit que tA A = n In. ii. Non . Par exemple, la matrice A = √n In vériﬁe tAA = n In, mais elle n’appartient pas à Hn. iii. Posons encore A′ = 1 √n A. On a t(A′) A′ = In, donc A′ ∈On(R), donc les vecteurs colonnes de A′ sont deux à deux orthogonaux, et il en est de même de ceux de A. Ainsi A ∈Hn. c. i. f(Hn) est une partie non vide de R car Hn est non vide. Si A ∈Hn, on a ses coefﬁcients ai,j dans {−1, 1}. Donc |f(A)| ≤ n X i=1 n X j=i 1 ≤ n X i=1 n X j=1 1 = n2 f(Hn) est une partie non vide et majorée de R, donc f(Hn) admet une borne supérieure. ii. On a, en notant (A T)i,j le terme général de la matrice AT, (A T)i,j = n X k=1 ai,k tk,j = n X k=j ai,k tk,j = n X k=j ai,k Donc Tr (A T) = n X i=1 (AT)i,i = n X i=1 n X k=i ai,k On a bien Tr (A T) = f(A). iii. On pose A′ = 1 √n A ∈On(R) On a f(A) = Tr (A R S) = √n Tr (A′ R S) ≤√n Tr S, d’après 2.b), car A′ R ∈On(R). Cette inégalité est valable pour toute A ∈Hn, donc, comme la borne supérieure est le plus petit des majorants, on a αn ≤√n Tr S. iv. Pour n = 2, pour toute matrice A de H2, on a f(A) ≤ 2 X i=1 2 X j=i 1 = 3. Donc α2 ≤3. De plus, pour A = Å 1 1 −1 1 ã , on a f(A) = 3. Donc α2 = 3 4 On détermine R orthogonale et S symétrique déﬁnie positive telles que T = R S. Ici, T = Å1 0 1 1 ã d’où tT T = Å2 1 1 1 ã . Les valeurs propres de tTT sont 3 + √ 5 2 et 3 − √ 5 2 . On a S2 = tT T, et les valeurs propres de S2 sont les carrés des valeurs propres de S. Comme de plus S a ses valeurs propres strictement positives, les valeurs propres de S sont donc 3 + √ 5 2 = 1 + √ 5 2 et 3 − √ 5 2 = −1 + √ 5 2 . Ainsi, Tr S = √ 5 et on a √ 2 Tr (S) = √ 10. Exercice 2 1. Comme X et Y suivent la même loi géométrique G(p), on a, en notant q = 1 −p, ∀n ∈N∗, P(X = n) = P(Y = n) = qn−1 p Soit (m, n) ∈(N ∗)2. Il s’agit de déterminer P((U = m) ∩(V = n)). • Supposons m < n. Comme Max(X, Y ) ⩾Min(X, Y ), on a P((U = m) ∩(V = n)) = 0. • Supposons m = n. Alors Max(X, Y ) = Min(X, Y ) implique que X = n et Y = n. On a donc, puisque les variables X et Y sont indépendantes, P((U = n) ∩(V = n)) = P((X = n) ∩(Y = n)) = P(X = n) × P(Y = n) = p2 q2n−2 • Supposons m > n. On a alors deux possibilités : (X = m et Y = n) ou (X = n et Y = m). Comme les deux événements sont incompatibles, on a : P((U = m) ∩(V = n)) = P((X = m) ∩(Y = n)) + P((X = n) ∩(Y = m)) = P(X = m) × P(Y = n) + P(X = n) × P(Y = m) = 2 p2 qm+n−2 2. Comme les événements (V = n)n∈N∗forment un système complet d’événements, on a P(U = m) = +∞ X n=1 P((U = m) ∩(V = n)) 5 Soit, avec les résultats ci-dessus, P(U = m) = m X n=1 P((U = m) ∩(V = n)) = P((U = m) ∩(V = m)) + m−1 X n=1 P((U = m) ∩(V = n)) = p2 q2m−2 + m−1 X n=1 2 p2 qm+n−2 = p2 q2m−2 + 2 p2 qm−1 m−1 X n=1 qn−1 = p2 q2m−2 + 2 p2 qm−1 m−2 X n=0 qn uploads/Histoire/ devoir-17 1 .pdf