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Sciences Industrielles Dérivation vectorielle Papanicola Robert Lycée Jacques A

Sciences Industrielles Dérivation vectorielle Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot I - DERIVATION VECTORIELLE A. Dérivée d'un vecteur mobile par rapport à un repère: Soit un vecteur quelconque définit dans la base B > − − − − − − ) (u V 0 → → → > − − − − − − + + = 0 0 0 ). ( ). ( ). ( ) ( k u z j u y i u x u V Le vecteur OP > − − − − − est un représentant du vecteur . > − − − − − − ) (u V Le point P décrit la trajectoire de P dans le repère R0 Le point P à pour coordonnées x(u), y(u), z(u). On appelle dérivée du vecteur par rapport à u relativement à la base B > − − − − − − ) (u V 0 le vecteur noté: → → → > − − − − − − + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 . ) ( . ) ( . ) ( ) ( k du u z d j du u y d i du u x d u V du d . Si les fonctions x(u), y(u), z(u) admettent des dérivées d'ordre n il est possible de définir le vecteur dérivé d'ordre n → → → > − − − − − − + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 . ) ( . ) ( . ) ( ) ( k du u z d j du u y d i du u x d u V du d n n n n n n n n 1. Propriétés Soient et deux vecteurs définis par leurs composantes dans la base B > − − − − − − ) ( 1 u V > − − − − − − ) ( 2 u V 0 Soient ( ) u 1 λ et ( ) u 2 λ deux fonctions scalaires de u dérivables On montre 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 R R R du u V d du u V d du u V u V d ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 0 0 0 u V du u d du u V d u u V du u d du u V d u du u V u u V u d R R R > − − − − − > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − • + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ • + • + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ • = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ • + • λ λ λ λ λ λ Dérivée du produit scalaire 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( 2 1 2 1 2 1 R R R du u V d u V u V du u V d du u V u V d ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ • + • ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ • > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − Dérivée du produit Vectoriel 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( 2 1 2 1 2 1 R R R du u V d u V u V du u V d du u V u V d ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∧ + ∧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∧ > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − 28/10/03 Cinématique du solide page 1/9 Sciences Industrielles Dérivation vectorielle Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot 2. Cas particuliers a) Dérivée d'un vecteur de module constant > − − − − − − ) (u V Soit un vecteur fonction de u mis dont le module est constant > − − − − − − ) (u V > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − • = = ) ( ) ( ) ( 2 u V u V Cte u V on a donc 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ) ( ) ( ( 0 0 0 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ • + • ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ • > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − > − − − − − − R R R du u V u V u V du u V d du u V u V d donc : 0 ) ( ) ( 0 = • ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ > − − − − − − > − − − − − − u V du u V d R or les deux vecteurs n'étant pas nuls on en déduit que les deux vecteurs sont perpendiculaires. Le vecteur dérivé d'un vecteur unitaire est donc un vecteur orthogonal à ce vecteur. B. Vecteur vitesse de rotation d'un repère en mouvement par rapport à un autre repère. 1. dérivation d'une base dans une autre: vecteur rotation. x0 i O y0 k j x1 z0 i1 Q1 y1 j1 k1 z1 Soient B0 et B1 deux bases orthonormées directes Les vecteurs unitaires de B0 sont notées: , , ,.L'origine est notée O → i0 → j0 → k0 Les vecteurs unitaires de B1 sont notées: , , ,.L'origine est notée Q1 → i1 → j1 → k1 Les vecteurs unitaires , , , et l'origine Q1 sont des fonctions de u. → i1 → j1 → k1 On cherche à exprimer R R R du k d du j d du i d ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ → → → 1 1 1 , , R du i d ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ → 1 est un vecteur que l'on peut exprimer dans n'importe quelle base. Dans la base B0 les composantes de R du i d ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ → 1 sont les dérivées par rapport à u de dans B → i1 0. Il est aussi possible de l'exprimer dans la base B1, ainsi ; 28/10/03 Cinématique du solide page 2/9 Sciences Industrielles Dérivation vectorielle Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot → → → → → → → → → → → • + • + • = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ • + • + • = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ • + • + • = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 k u l j u h i u g du k d k u f j u e i u d du j d k u c j u b i u a du i d R R R r Les vecteurs : , , ,étant unitaires on a: → i1 → j1 → k1 0 1 0 1 1 2 1 = ⎥ ⎥ uploads/Industriel/ cin2-derivation-vectorielle.pdf