Baccalauréat S Asie juin 2004 • L’utilisation d’une calculatrice n’est pas auto

Baccalauréat S Asie juin 2004 • L’utilisation d’une calculatrice n’est pas autorisé • L’attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies. • Le candidat doit traiter les QUATRE exercices. EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats À chacune des trois affirmations suivantes, répondre par « VRAI » ou par « FAUX ». Aucune justification n’est demandée. Données Affirmations Réponses f est la fonction définie sur l’ensemble R des nombres réels par : f (x) = 1 1+ex, C est la courbe représentative de f dans un repère du plan. La tangente à C au point d’abs- cisse 0 est parallèle à la droite d’équation y = − 1 4x. G est le barycentre du système de points pondérés {(A ; − 1), (B ; 1), (C ; 4)} L’application du plan dans lui- même qui à tout point M associe le point M′ tel que − − − − → MM′ = −− − → MA + − − → MB + 4− − → MC , est une homothétie de rapport −3. f (x) = x sin3x Les solutions de l’équation f (x) = 1 2x sont : 0 ; π 18 + 2k π 3 ou 5π 18 + 2k′ π 3, k et k′ sont des entiers re- latifs. Le barème est le suivant : • Réponse exacte : 1 point. • Réponse fausse : −0,5 point. • Absence de réponse : 0 point. • La note attribuée à l’exercice ne peut être négative. EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct  O, − → e1 , − → e2  , unité graphique 1 cm. Soit A le point d’affixe 3i. On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z, distinct de A, associe le point M′ d’affixe z′ définie par : z′ = 3iz −7 z −3i . 1. Recherche des points invariants par f . a. Développer (z −7i)(z +i). b. Montrer que f admet deux points invariants B et C dont on précisera les affixes et qu’on placera sur un dessin. 2. On appelle Σ le cercle de diamètre [BC]. Soit M un point quelconque de Σ, distinct de B et de C, soit M′ son image par f . a. Justifier que l’affixe z de M vérifie : z = 3i+4eiθ où θ est un nombre réel. Baccalauréat S juin 2004 b. Exprimer l’affixe z′ de M′ en fonction de θ et en déduire que M′ appar- tient aussi à Σ. c. Démontrer que z′ = −z et en déduire, en la justifiant, une construction géométrique de M′. 3. On considère un cercle de centre A, de rayon r > 0. Déterminer l’image de ce cercle par f . EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité On appelle (E) l’ensemble des entiers naturels qui peuvent s’écrire sous la forme 9+ a2 où a est un entier naturel non nul ; par exemple 10 = 9+12 ; 13 = 9+22 etc. On se propose dans cet exercice d’étudier l’existence d’éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5. 1. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 2n où a ∈N, n ∈N, n ⩾4. a. Montrer que si a existe, a est impair. b. En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de solution. 2. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 3n où a ∈N, n ∈N, n ⩾3. a. Montrer que si n ⩾3, 3n est congru à 1 ou à 3 modulo 4. b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair. c. On pose n = 2p où p est un entier naturel, p ⩾2. Déduire d’une factori- sation de 3n −a2, que l’équation proposée n’a pas de solution. 3. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 5n où a ∈N, n ∈N, n ⩾2. a. En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation n’a pas de solution si n est impair. b. On pose n = 2p, en s’inspirant de 2. c. démontrer qu’il existe un unique entier naturel a tel que a2 +9 soit une puissance entière de 5. EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats L’espace E est rapporté au repère orthonormal  O, − → ı , − → , − → k  . On appelle P le plan d’équation 2x −y +5 = 0 et Q le plan d’équation 3x + y −z = 0. 1. Montrer que P et Q sont sécants en une droite D dont une représentation paramétrique est :    x = α y = 2α+5 z = 5α+5 où α est un nombre réel. 2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier précisément vos réponses : • Affirmation 1 : D est parallèle au plan R d’équation : −5x +5y −z = 0. Soit D′ la droite de l’espace de représentation paramétrique :    x = −3β y = 1+β z = 2+2β où β est un nombre réel. • Affirmation 2 : D et D′ sont coplanaires. Asie 2 Baccalauréat S juin 2004 EXERCICE 4 8 points Commun à tous les candidats I Première partie Étude d’une fonction f On appelle f la fonction définie sur l’intervalle I =  − 1 2 ; +∞  par f (x) = ln(1+2x). 1. Justifier que f est strictement croissante sur l’intervalle I. 2. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers − 1 2. 3. On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par g(x) = f (x)−x. a. Étudier les variations de g sur l’intervalle I. b. Justifier que l’équation g(x) = 0 admet deux solutions : 0 et une autre, notée β, appartenant à l’intervalle [1 ; 2]. c. En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle I. 4. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; β[, f (x) appartient aussi à ]0 ; β[. II Deuxième partie Étude d’une suite récurrente On appelle (un)⩾0 la suite définie par un+1 = f (un) et u0 = 1. 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un appartient à ]0 ; β[. 2. Démontrer par récurrence que la suite (un)⩾0 est croissante. 3. Justifier que la suite (un)⩾0 est convergente. III Troisième partie Recherche de la limite de la suite (un)⩾0 1. Montrer que pour tout réel x ⩾1, f (x) ⩽ 2 3. 2. Recherche de la limite de la suite (un)⩾0 a. Démontrer que pour tout entier naturel n, β u0 f ′(t)dt ⩽ 2 3 β−un . b. En déduire que pour tout entier naturel n, β −un+1 ⩽ 2 3 β−un , puis à l’aide d’un raisonnement par récurrence que 0 ⩽β−un ⩽ 2 3 n . c. Quelle est la limite de la suite (un)⩾0? Asie 3 uploads/Ingenierie_Lourd/ asie-sjuin-2004.pdf

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