Hervé Oudin Introduction à la méthode des éléments finis cel-00341772, version

Hervé Oudin Introduction à la méthode des éléments finis cel-00341772, version 3 - 26 May 2011 École Centrale de Nantes —  Ce document est sous licence Creative Commons .France: – paternité; – pas d’utilisation commerciale; – partage des conditions initiales à l’identique; http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/./deed.fr cel-00341772, version 3 - 26 May 2011 Table des matières Table des matières   Méthodes d’approximation en physique  . Généralités  Processus d’analyse  Méthodes d’approximation  . Méthode des résidus pondérés  . Formulation variationnelle  Transformation de la forme intégrale  Discrétisation de la forme intégrale  Écriture matricielle des équations  . Principe des Travaux Virtuels  Formulation  Discrétisation   Méthode des éléments finis  . Généralités  . Démarche éléments finis  Discrétisation géométrique  Approximation nodale  Quantités élémentaires  Assemblage et conditions aux limites  . Utilisation d’un logiciel éléments finis  Déroulement d’une étude  Techniques de calculs au niveau élémentaire  . Organigramme d’un logiciel éléments finis   Applications en mécanique  . Structures treillis  Élément barre  Assemblage  . Structures portiques  Élément poutre  Assemblage  cel-00341772, version 3 - 26 May 2011  Table des matières . Élasticité plane  Contraintes planes  Déformations planes  Élément T  Élément Q  A Illustrations académiques  A. Application de la méthode des résidus pondérés  A. Formulation variationnelle de l’équation de poisson  A. Construction d’une approximation nodale linéaire  A. Fonctions d’interpolation d’un élément triangulaire  A. Structure élastique à symétrie cylindrique  A. Assemblage et conditions aux limites  A. Principe des Travaux Virtuels en traction-compression  A. Équivalence PTV et équation locale avec conditions aux limites  A. Matrice raideur et vecteur force généralisé des éléments triangulaires  A.Changement de base dans le plan  A.Dimensionnement statique d’une colonne  A.Étude statique d’un portique  Bibliographie  Index  cel-00341772, version 3 - 26 May 2011  Méthodes d’approximation en physique .Généralités ..Processus d’analyse De façon générale, les différentes étapes d’analyse d’un problème physique s’or- ganisent suivant le processus schématisé par la figure .. Nous partons d’un problème physique hypothèses de modélisation évolution du modèle mathématique modèle mathématique discrétisation du problème évolution du modèle numérique modèle numérique estimation de la précision du modèle numérique – vérification des hypothèses de modélisation (analyse du modèle mathématique) – interprétation des résultats réponse nouveau modèle physique procédure numérique Figure .– Processus d’analyse utilisant un modèle numérique problème physique. Le cadre précis de l’étude est défini par les hypothèses sim- cel-00341772, version 3 - 26 May 2011  Méthodes d’approximation en physique plificatrices qui permettent de déterminer le modèle mathématique approprié. La difficulté pour l’ingénieur est de savoir choisir parmi les lois de la physique, celles dont les équations traduiront avec la précision voulue la réalité du problème phy- sique. Un bon choix doit donner une réponse acceptable pour des efforts de mise en œuvre non prohibitifs. En résumé, les questions essentielles auxquelles l’ingénieur devra répondre, s’il veut effectuer une analyse par un modèle numérique dans de bonnes conditions, sont les suivantes : – quel modèle mathématique utiliser ? – quel modèle numérique faut-il lui associer ? – quelle est l’erreur d’approximation commise ? – quelle est l’erreur numérique commise ? – peut-on améliorer le modèle numérique ? – faut-il changer le modèle mathématique ? etc. Qu’est ce qu’un modèle ? La figure .illustre sur un exemple mécanique simple trois modélisations envisageables. Chacune correspond à modèle mathématique différent mais quelle est la bonne ? Le choix du modèle mathématique est un com- (a) schéma du support ⃗ F (b) poutre : solution analy- tique ou numérique ⃗ F (c) élasticité plane : solution numérique ⃗ F (d) élasticité tridimensionnelle : solution numérique Figure .– Choix d’un modèle mathématique : dimensionnement sta- tique d’un support d’étagère promis entre le problème posé à l’ingénieur « quelles grandeurs veut-on calculer et avec quelle précision ? » et les moyens disponibles pour y répondre. En fait, les équations du modèle retenu sont soumises à un certain nombre d’hypothèses ba- sées sur les sciences de l’ingénieur et il faut connaître leur domaine de validité pour pouvoir vérifier que la solution obtenue est satisfaisante. cel-00341772, version 3 - 26 May 2011 .Méthode des résidus pondérés  Si le modèle mathématique n’admet pas de solution analytique, il est alors né- cessaire de chercher une solution approchée de ce modèle. Dès lors, la discréti- sation du problème correspond au choix d’un modèle numérique permettant de traiter les équations mathématiques. Il est important de savoir distinguer et hié- rarchiser les différents niveaux d’hypothèse utilisés pour modéliser un phénomène physique. En effet, la solution exacte d’un modèle mathématique qui ne correspond pas à la réalité physique est inutile. ..Méthodes d’approximation Pour discrétiser les modèles complexes de phénomènes physiques, l’ingénieur dis- pose de méthodes d’approximation permettant de résoudre la plupart des pro- blèmes pour lesquels il n’existe pas de solution formelle. Toutes les méthodes d’approximation ont un même objectif, à savoir remplacer un problème mathématique défini sur un milieu continu (équations différentielles ou intégrales) par un problème mathématique discret (équations matricielles) de dimension finie que l’on sait résoudre numériquement. La classification que nous proposons sur la figure .n’est pas unique. Elle per- met simplement de distinguer la méthode, en fonction de la démarche utilisée pour obtenir une forme intégrale. Il est important de noter qu’un problème physique peut être formulé de façon équivalente en un système d’équations différentielles ou sous une formulation variationnelle. Nous montrons par la suite comment pas- ser de l’une à l’autre. Méthode des résidus pondérés (ou annulation d’erreur) : elle utilise comme point de départ les équations locales, équations différentielles définies sur l’inté- rieur du domaine, et les conditions aux limites du problème définies sur la frontière du domaine; Méthodes variationnelles : le point de départ de ces méthodes est un principe va- riationnel qui est une formulation mathématique du problème basée sur des considérations énergétiques. La formulation obtenue dépend bien entendu des hypothèses de modélisation du problème physique. .Méthode des résidus pondérés Soit un problème physique d’inconnue le champ scalaire u(M) défini sur un do- maine D. Nous cherchons une solution du modèle mathématique défini par les équations locales sur D, et les conditions aux limites sur la frontière Γ du domaine. Ces équations différentielles forment le système suivant : ∀M ∈D, L(u) = f (M,t) ←équation locale ∀M ∈Γ, C(u) = e(M,t) ←conditions aux limites (.) où L et C sont des opérateurs agissant sur l’inconnue u qui dépend du point courant M et du temps t. Le résidu est l’erreur commise lorsque l’on utilise une approxima- cel-00341772, version 3 - 26 May 2011  Méthodes d’approximation en physique système physique continu formes intégrales formes différentielles formes matricielles méthodes d’approximation discrétisation méthodes variationnelles formulation mathématique du problème Principe des Travaux Virtuels méthode des résidus pondérés mise en équations formulation mathématique du problème Principe Fondamental de la Dynamique Figure .– Vue synthétique des méthodes d’approximation tion u∗du champ u pour écrire les équations du problème. Afin de simplifier la présentation, considérons dans un premier temps que : – les conditions aux limites du problème sont homogènes, C(u) = ; – l’approximation choisie les satisfait toutes, C(u∗) = . Le résidu est alors défini par l’erreur sur l’équation locale, soit : ∀M ∈D, R(u∗) = L(u∗) −f (M,t) (.) Soit un ensemble de fonctions dites de pondération P i(M) , quelconques et défi- nies sur le domaine D. La méthode des résidus pondérés consiste à annuler l’erreur commise sur le résidu, en la rendant orthogonale, selon un produit scalaire pré- cis, à des fonctions P i(M). Ce qui correspond à des équations sous forme intégrale représentées par : ∀P i(M), Z D P i(M)R(u∗) dV =  (.) Du point de vue mathématique, au lieu de résoudre l’équation R(u) = , on consi- dère le problème équivalent ∀ϕ, R DϕR(u)dV = . Ne sachant pas résoudre ce pro- blème analytiquement, on en cherche une approximation en restreignant les ϕ à n fonctions de pondération. . ces fonctions prennent aussi l’appellation de fonctions tests ou fonctions poids cel-00341772, version 3 - 26 May 2011 .Méthode des résidus pondérés  Pour une approximation u∗à n paramètres, nous choisirons n fonctions de pon- dération afin d’obtenir autant d’équations intégrales que de paramètres, c’est-à-dire un système matriciel d’ordre n. Soit une approximation de la forme : u∗= n X i= W i(M)qi(t) = W(M)Tq(t) (.) où les fonctions W i(M) sont les fonctions de forme et les qi(t) sont les paramètres de l’approximation, c’est-à-dire les participations des fonctions de forme respec- tives dans la solution du problème. Les n équations sont de la forme : ∀i ∈[,n], Z D P i(M)R  W(M)Tq(t)  dV =  (.) Pour illustrer notre propos, admettons que le problème soit un problème station- naire linéaire, l’équation matricielle est alors de la forme : Kq = F (.) avec K = R DP(M)L  W(M)  dV et F = R DP(M)f (M)dV. Si les uploads/Ingenierie_Lourd/ bouquin.pdf

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Ingénierie éléments forme fonctions version matrice
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