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1 III COMPTER-MESURER-CALCULER OU « LA CONNAISSANCE INTIME DU NOMBRE » Compter-

1 III COMPTER-MESURER-CALCULER OU « LA CONNAISSANCE INTIME DU NOMBRE » Compter-Calculer jusqu’en 1970 L’enseignement simultané de la numération et de la mesure, page 3 L’enseignement simultané de la numération et des quatre opérations, page 4 L’importance du calcul mental, page 5. Depuis 1970 Rupture de la liaison entre l’apprentissage de la mesure et l’apprentissage du calcul, page 7 Réduction du calcul au numérique, page 8 Rupture de la liaison entre l’apprentissage du calcul et de la numération, page 16 Destruction de la notion même de calcul mental, page 17 Faut-il savoir calculer à la main ? page 22 2 ARITHMÉTIQUE NOTIONS PRÉLIMINAIRES 1. - On appelle quantité tout ce qui peut être augmenté ou diminué, comme une somme d’argent, un nombre d'arbres, la hauteur d’un mur. 2. – L’unité est une quantité connue qui sert à mesurer à évaluer toutes les quantités de la même espèce qu’elle. Ex. : Si l’on compte les tables de la classe, les arbres de la cour, l’unité est une table, un arbre. 3. - Un nombre est le résultat obtenu en comparant une quantité à son unité. Il est concret s’il désigne l'espèce d'unité, comme 12 litres ; il est abstrait s’il ne désigne pas l’espèce d’unité, comme 12. 4. - Il y a trois espèces de nombres 1° Le nombre entier, qui ne contient que des unités entières : quatre francs : 4 fr. 2° La fraction, qui ne contient que des parties de l’unité : vingt-cinq centimètres : 0m,25 ; deux tiers : 2/3. 3° Le nombre fractionnaire, qui e st un nombre entier accompagné d'une fraction : trois francs quarante centimes : 3fr.40 ; deux unités un tiers : 2 1/3 5. – L’arithmétique est la science des nombres et du calcul. 6. - Le calcul est l’art de combiner les nombres. L’ART DE COMBINER LES NOMBRES EN 1907 Brouet et Haudricourt Frères, Arithmétique et système métrique Cours Moyen, Paris, 1907. L’apprentissage du calcul proposé dans le Dictionnaire Pédagogique ne prend tout son sens que si on le situe dans l’histoire de l’enseignement des mathématiques. Pour ce qui est de la période antérieure à 1887, nous avons dit ce qu’il y avait à dire dans l’introduction générale 3 de cette anthologie, et nous avons dit ensuite, dans l’introduction à la première partie, en quoi le sacrifice de l’intuition initié par les maths modernes constituait de manière générale une régression pédagogique. Il nous reste donc à examiner, en ce qui concerne spécifiquement l’enseignement du calcul à l’école élémentaire, et l’apport des thèses sur l’apprentissage du calcul développées dans le DP et les incohérences auxquelles le rejet de celles-ci a conduit durant les trois dernières décennies. Rappelons donc pour reprendre le fil, qu’à dater de 1882, et en rupture avec l’obscurantisme de la loi Falloux qui distinguait programme obligatoire et programme facultatif, la géométrie devient une matière obligatoire jusqu’au CM2, la géométrie de construction, traitée en travail manuel et en dessin, étant inscrite au Programme du Certificat d’études1. Qu’à partir de la même date, sont enseignés simultanément dés le début de l’enseignement élémentaire, à côté de l’écriture-lecture qui fait de l’écriture la voie d’accès privilégiée à la lecture, l’enseignement simultané du système métrique, de la numération, du calcul écrit et du calcul mental, et des quatre opérations. La nouveauté et l’efficacité de cette pédagogie simultanée du calcul tiennent dans les quelques points suivants. L’enseignement simultané de la numération et de la mesure Le plus simple est ici de citer quelques lignes tirées de l’article Numération signé de Georges Bovier-Lapierre* et que nous reproduisons intégralement infra. Nombre ; unité. - Qu’un enfant interrogé au tableau soit invité par le maître à dire combien d'élèves sont assis à la table qui est devant lui ; il compte et répond qu’il y en a six, par exemple : le terme six est un nombre, et l'élève est l'unité. Qu'on lui demande ensuite d'indiquer la longueur de la table ; il porte le mètre d'un bout de la table à l'autre, et il trouve qu’il y est contenu quatre fois par exemple, il est dit que la table a une longueur de quatre mètres ; ici le terme quatre est un nombre et le mètre est l’unité. D'après ces exemples (qu’on fera bien de multiplier) on voit que mesurer une quantité quelconque, c’est chercher combien de fois, elle contient une certaine quantité de même espèce, connue ou adoptée par l'usage. Cette quantité connue, qui sert à évaluer les quantités de même espèce, est appelée unité. 1 Contrairement à une affirmation de la DEP qui sert de base à la comparaison de niveau des élèves 1920 – 1995 : « "On constate … qu'il n'y avait pas de géométrie [au programme du Certificat d'études]". * Ancien professeur à l’École normale de Cluny 4 On appelle nombre l’expression qui indique combien il y a d’unités dans la quantité mesurée. Le texte de Bovier-Lapierre appelle une première remarque. On y trouve explicitée, bien sûr sur une base expérimentale, une définition de l’unité qui est fondamentale puisque lorsque l’on compte, on compte toujours des unités. Mais il y a là beaucoup plus, même si on ne le théorisait peut-être pas aussi explicitement à l’époque parce qu’alors c’était naturel. Et ce beaucoup plus est ce que le mathématicien Ron Aharoni* explique lorsqu’il dit qu’il n’y a pas quatre opérations mais cinq : À côté des quatre opérations traditionnelles, il y en a une cinquième, plus basique et plus importante : celle qui consiste à construire et enseigner ce qu’est une unité. Prendre une part du monde et la considérer comme un tout. Cette opération est la base de beaucoup de connaissances mathématiques à l’école élémentaire. D’abord pour compter. La multiplication est basée sur le fait de déclarer qu’un ensemble [d’objets] est un tout, de déclarer que c’est l’unité, et de répéter ce procédé. Le concept de fraction part de l’idée que l’on a un tout que l’on partage en parties. Le système décimal est basé sur le fait de rassembler dix objets en une unité appelée « dizaine » et de répéter ce processus de manière récursive. La construction de l’unité, le fait de lui donner un nom, est quelque chose qui doit être appris de manière explicite et avec insistance 3 Deuxième remarque : cet enseignement de la numération n’est pas basé seulement sur le nécessaire comptage d’objets palpables physiquement mais également sur l’introduction, indispensable pour la compréhension de ce qu’est la nature même de la physique qui ne peut exister sans mesure et sans unités, des unités du Système International. Cette introduction initiale est la condition première d’une vision non mécaniste du rapport entre les mathématiques et la physique. L’enseignement simultané de la numération et des quatre opérations Développé dans l’article Calcul intuitif, l'apprentissage simultané des quatre opérations au fur et à mesure des progrès dans l'apprentissage de la numération s’oppose très précisément aux méthodes précédentes qui apprenaient d'abord la numération puis successivement chaque opération séparément. * Ron Aharoni, mathématicien israélien qui participe à la mise en place en Israël depuis 2003 du réseau d’écoles primaires IFMA (Israeli Foundation for Math Achievement for All). http://www.ifma.org.il/english/index.html 3 Ron Aharoni, What should be covered in elementary school in arithmetic?, British Mathematical Colloquium, Birmingham, 2003. http://math.nyu.edu/mfdd/braams/links/bmc-2003.html 5 Traitant donc les nombres comme un objet quelconque qu’il s’agirait de rendre familier à l’intelligence de l’enfant, Grübe s’élève contre l’antique usage d’apprendre successivement aux élèves d’abord l’addition, puis la soustraction, puis les deux autres règles. 4 Le progrès est considérable ; il facilite à la fois la connaissance de la numération et la pratique des opérations. En effet, la numération de position est directement liée aux opérations : 340 signifie bien 3 fois 100 plus 4 fois 10. En même temps tout nombre comprend en lui-même la notion primitive de multiplication puisque 6 est une autre écriture de 6×1. De surcroît, la « connaissance intime du nombre », pour reprendre l’expression de René Thom, n’est possible que si tout nombre est non seulement conçu comme nombre ordinal et cardinal (pour cela, et pour comparer deux nombres, une conception additive de la numération suffit) mais aussi comme le résultat de ses différentes « décompositions » utilisant toutes les opérations. On ne comprend vraiment ce qu’est le nombre 6 qu’une fois dépassée la compréhension de sa place entre 5 et 7 dans le comptage et quand il apparaît comme le résultat de 4+2, 5+1, 7-1, 8-2, 2×3, 6×1, et comme le quotient des nombres 12 à 17 par 2 etc. Chaque opération prend ainsi sa physionomie par sa définition, son sens, c'est-à-dire la compréhension des situations dans lesquelles on l’emploie, et par son algorithme ; l’intelligence de chaque opération est renforcée par la possibilité de la comparer sous tous ses aspects avec les autres opérations. L’importance du calcul mental Le DP s’appuie sur une compréhension fine de la liaison initiale entre l’apprentissage de la langue et celui du calcul5. Dans cette optique, le calcul mental a deux objectifs complémentaires : - a) un objectif général appuyé uploads/Litterature/ 06-calcul.pdf