Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Algèbre 1 Semestre d’hiver 2013/2014 Université du Luxembourg Gabor Wiese et Ag

Algèbre 1 Semestre d’hiver 2013/2014 Université du Luxembourg Gabor Wiese et Agnès David gabor.wiese@uni.lu, agnes.david@uni.lu Version du 16 décembre 2013 Table des matières Table des matières 3 Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I Introduction aux mathématiques à l’université 5 1 Les preuves et les premiers mots du langage mathématique . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Et et ou ou ou et et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4 De l’existence pour tout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 Indices, sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6 Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 8 Applications et fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 9 Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 II Systèmes de nombres et structures algébriques 42 10 Les entiers naturels N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 11 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 12 Les entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 13 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 14 L’anneau des entiers relatifs revisité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 15 Les nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 16 Sous-groupes et homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 III Objets de base de l’algèbre linéaire abstraite 81 17 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 18 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 19 Bases et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 20 Homomorphismes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 IV Débuts de la théorie des groupes 99 21 Sous-groupes normaux et quotients de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 22 Ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2 TABLE DES MATIÈRES 3 23 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Préface L’algèbre, c’est quoi ? Historiquement, on entend par « algèbre » l’étude des équations polynomiales. Au cours des 2000 ans de cette étude, les gens se sont aperçus que certaines structures revenaient très souvent, et de plus dans des contextes tout à fait différents ! Depuis, les algébristes s’occupent aussi de l’étude et du développement de ces structures, ainsi que, évidemment, de leurs applications dans d’autres domaines en sciences, ingénierie et mathématiques. Le cours Algèbre 1 sera consacré à une introduction aux structures algébriques fondamentales : les groupes, les anneaux, les corps, ainsi qu’aux espaces vectoriels (d’un point de vue plus général que dans le cours d’algèbre linéaire). Ces structures seront illustrées par des exemples et, parfois, des applications. Les règles et les méthodes les plus importantes concernant les démonstrations mathématiques seront enseignées et pratiquées. En Algèbre 2, nous approfondirons la théorie des anneaux et traiterons quelques compléments au cours d’algèbre linéaire. En Algèbre 3, nous traiterons la théorie des corps. Le cours culminera au quatrième semestre par la Théorie de Galois, qui nous permettra de démontrer la constructibilité ou inconstructibilité à la règle et au compas de certains problèmes de l’Antiquité et l’impossibilité de résoudre l’équation générale de degré au moins 5 par radicaux. Littérature Pour le début, qui est sans doute la partie la plus difﬁcile, je recommande les livres suivants qui devraient être disponibles dans la bibliothèque au Kirchberg. – Schichl, Steinbauer : Einführung in das mathematische Arbeiten. – Scharlau : Schulwissen Mathematik : Ein Überblick, Vieweg, 3rd ed., 2001. – Cramer : Vorkurs Mathematik : Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengängen, Sprin- ger, 2012. – Fritzsche : Mathematik für Einsteiger Spektrum. Voici quelques références : ces livres devraient également être disponibles dans la bibliothèque au Kirchberg. – Lelong-Ferrand, Arnaudiès : Cours de mathématiques, Tome 1, Algèbre. Dunod. Ce livre est très complet et très détaillé. On peut l’utiliser comme ouvrage de référence. – Siegfried Bosch : Algebra (en allemand), Springer-Verlag. Ce livre est très complet et bien lisible. – Serge Lang : Algebra (en anglais), Springer-Verlag. C’est comme une encyclopédie de l’algèbre ; on y trouve beaucoup de sujets rassemblés, écrits de façon concise. – Siegfried Bosch : Lineare Algebra, Springer-Verlag. – Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer : Algebra. – Christian Karpﬁnger, Kurt Meyberg : Algebra : Gruppen - Ringe - Körper, Spektrum Akademischer Verlag. – Gerd Fischer : Lehrbuch der Algebra : Mit lebendigen Beispielen, ausführlichen Erläuterungen und zahlreichen Bildern, Vieweg+Teubner Verlag. – Gerd Fischer : Lineare Algebra : Eine Einführung für Studienanfänger, Vieweg+Teubner Verlag. 4 TABLE DES MATIÈRES – Gerd Fischer, Florian Quiring : Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie : Das Wich- tigste ausführlich für das Lehramts- und Bachelorstudium, Springer Vieweg. – Perrin : Cours d’algèbre, Ellipses. – Guin, Hausberger : Algèbre I. uploads/Litterature/ 2013-algebre-1-complet.pdf