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Chapitre 4 DIMENSIONNEMENT DES ELEMENTS 2. Eléments Comprimés DIMENSIONNEMENT D

Chapitre 4 DIMENSIONNEMENT DES ELEMENTS 2. Eléments Comprimés DIMENSIONNEMENT DES ELEMENTS 2. Eléments Comprimés 1. Introduction On utilise en général le terme "éléments comprimés" pour décrire les composants structuraux soumis uniquement à des efforts normaux de compression; ceci peut décrire les poteaux (dans des conditions de chargement particulières) mais fait référence en général aux barres comprimées et à extrémités articulées que l'on trouve dans les fermes, les poutres à treillis ou les éléments de contreventement. S'ils sont soumis à des moments fléchissants significatifs en plus des charges axiales, ces éléments sont appelés poutres-poteaux. 1. Introduction Figure 1. Poutre à treillis en N 1. Introduction Figure 1. Poutre à treillis en N 1. Introduction Ce cours a pour sujet les éléments comprimés et, par conséquent, concerne très peu de poteaux réels car les excentricités d'efforts normaux et les efforts transversaux ne sont en général pas négligeables. Le fait que la plupart des éléments comprimés en acier sont assez élancés, un flambement peut se produire. Ce phénomène n'affecte pas, généralement, les poteaux courts dits "trapus", dont le calcul est conduit en ne tenant compte que de la résistance de ces poteaux à l'effort de compression sans tenir compte du flambement. 2. Poteaux courts  Les poteaux courts, donc trapus, ont un élancement très faible, de telle sorte qu'ils ne sont pas affectés par un flambement global. Dans ce cas, la résistance à la compression de l'élément est dictée par la résistance à la compression de la section transversale, qui est fonction de la classification de la section. Les sections transversales de Classes 1, 2, 3 sont toutes insensibles au voilement local à ce niveau de la charge axiale et donc la résistance à la compression de calcul est prise égale à la résistance plastique de calcul de la section: ) 1 ....( .......... .......... .......... . 0 , , M y Rd pl Rd c f A N N    2. Poteaux courts  Pour les sections transversales de Classe 4, le voilement local dans une ou plusieurs parois de la section transversale empêche d'atteindre la charge d'écoulement plastique, et donc la résistance à la compression de calcul est limitée à la résistance au voilement local : où : Aeff représente l'aire de la section transversale efficace déterminée selon l'article 5.3.5. (cf également Voilement Local). ) 2 .......( .......... .......... . 1 , , M y eff Rd o Rd c f A N N    3. Poteaux élancés en acier 3. Poteaux élancés en acier 3. Poteaux élancés en acier 3. Poteaux élancés en acier 3. Poteaux élancés en acier 3. Poteaux élancés en acier 3. Poteaux élancés en acier 3. Poteaux élancés en acier 3.1. Origine des phénomènes d’instabilité élastique Le calcul d'une structure exige que, sous toutes les combinaisons d'actions possibles, définies réglementairement, la stabilité statique soit assurée, tant globalement, au niveau de la structure qu'individuellement au niveau de chaque élément. Les actions développent diverses sollicitations, qui génèrent des contraintes au sein du matériau et des déformations des éléments. Il s'agit donc, afin de garantir le degré de sécurité souhaité, de vérifier que les contraintes et les déformations restent en dessous des limites admissibles. Deux cas de figure se présentent : 3. Poteaux élancés en acier  Le cas des petites déformations : Tant que l'on reste dans le domaine des petites déformations, on admet que les sollicitations ne varient pas (ou peu) sous l'effet des déformations, ce qui conduit simplement à vérifier que les contraintes restent inférieures à la contrainte de ruine.  Le cas des grandes déformations : Dans ce cas, les déformations modifient considérablement les sollicitations qui les ont initiées et nécessitent des calculs spécifiques. 3. Poteaux élancés en acier L'apparition de déformations importantes dans certaines pièces peut survenir :  dans le domaine élastique, lorsque la corrélation linéaire efforts/déformations n'est plus vérifiée, les déformations augmentant plus vite que les efforts appliqués ;  dans le domaine élasto-plastique, lorsqu'il y a écoulement plastique. Les grandes déformations affectent les zones comprimées des pièces, qui peuvent présenter trois types de comportements caractéristiques, dénommés phénomènes d'instabilité, qui sont : 3. Poteaux élancés en acier  le flambement, qui affecte les barres simplement comprimées (flambement simple) ou comprimées et fléchies (flambement flexion), qui est très dangereux,  le déversement, qui affecte les semelles comprimées des pièces fléchies.  le voilement, qui affecte les âmes des pièces fléchies. L'étude des phénomènes d'instabilité élastique est particulièrement importante en construction métallique, car ils sont très fréquents du fait de l'utilisation d'éléments minces et de grand élancement. Nous nous proposons donc d'examiner dans ce chapitre un de ces phénomènes d'instabilité, qui est le flambement, sous son aspect théorique, expérimental et réglementaire. 3. Poteaux élancés en acier 3.2. Le flambement 3.2.1. Aspect théorique du flambement simple A. Poteau bi-articulé Le flambement simple affecte les pièces soumises à la compression simple. Son étude est due à Euler. 3. Poteaux élancés en acier La théorie d'Euler est fondée :  sur une poutre droite, bi- articulée à ses extrémités,  soumise à un effort normal de compression centré N, appliqué dans l'axe ox,  dont les dimensions transversales sont faibles en regard de la longueur (grand élancement),  dont les inerties sont maximale dans le plan (zox) et minimale dans le plan (yox) Lorsque N croît, à partir de zéro, l'état d'équilibre rectiligne initial évolue vers un état curviligne fléchi. Figure 1. Poteau bi-articulé 3. Poteaux élancés en acier D'après la loi fondamentale de la flexion, issue de la résistance des matériaux, le moment fléchissant s'écrit : Or, M = N.y, donc : En posant : on obtient l'équation de la ligne élastique : Figure 1. Poteau bi-articulé 2 2 Z d y M EI . dx  2 2 0 Z d y EI . N .y dx   Z N EI  2 2 2 0 d y y dx    3. Poteaux élancés en acier qui est une équation différentielle du second ordre, dont la solution générale est de la forme : y = A sin  x + B cos  x La résolution de cette équation s'opère grâce aux conditions aux limites :  pour x = 0, y(0) = 0, B = 0  pour x = ℓ0, y (ℓ0) = 0, A sin  ℓ0 = 0 Figure 1. Poteau bi-articulé Organigramme de calcul Organigramme de calcul 2 , 0   OUI Il n’y a pas de risque de flambement Calcul comme poteau court Organigramme de calcul 2 , 0   OUI Il n’y a pas de risque de flambement Calcul comme poteau court NON Il y a risque de flambement Calcul des différents facteurs et coefficients Organigramme de calcul Organigramme de calcul Organigramme de calcul Organigramme de calcul Exercices d’application Exercice N° (1) : Aspect théorique du flambement : Soit un poteau bi-articulé dans ses deux plans (YOX) et (ZOX) de longueur l0 = 5 m et de section en profilé HEA 200. 1. On vous demande de déterminer la contrainte critique de flambement. 2. Est-ce qu’il y a risque de flambement si l’acier est de nuance S.235. 3. Pour qu’il n y ait pas de risque de flambement, quelle est : a) la longueur du poteau qu’il va falloir lui donner ? b) la section du profilé HEA qu’il va falloir choisir ? E = 21×105 kg/cm2 HEA 200 : A = 53,8 cm2 , Iz = 1336 cm4 , Iy = 3692 cm4 N 1 1 Coupe 1-1 Corrigé de l’exercice N° (1) 1. 2. cr < fy  il y’a risque de flambement . MPa E cm A I i i l i l E cr z z z cr cr 61 , 205 4 , 100 10 1 , 2 4 , 100 98 , 4 500 98 , 4 8 , 53 1336 , , 2 5 2 2 2 0 min 2 2                       Corrigé de l’exercice N° (1) 3. a) On prendra lo = 4,50m b) On prendra iz = 4,51 cm soit un HEA 220 y z y y cr f E i l f E f E             0 2 2 cm f E i l y z 468 235 10 1 , 2 98 , 4 5 0          cm E f l i y z 32 , 5 10 1 , 2 235 500 5 0         Exercices d’application Exercice N° (2) : Aspect réglementaire du flambement : Quelle charge maximale N de compression peut supporter un poteau de 8 m de hauteur, bi-encastré aux extrémités selon le plan (YOX) , et bi- articulé dans le plan (ZOX), et constitué d’un HEB 200, Acier S.235. ) : 2 ( ° Exercice N uploads/Litterature/ application-chapitre-4-tot.pdf