UNIVERSITE IBN 3 Corrigé des Exercice 1 : Calcul des transformées de Laplace di

UNIVERSITE IBN 3 Corrigé des Exercice 1 : Calcul des transformées de Laplace directes : a) () =  ( ) = ℒ[()] = ∫ ()   =  () ( ) b) () = ( ) Sachant que 1ère méthode (à partir de la définition de la transformée de Laplace) : ( ) = ℒ[()] = ∫ ()   ⇒ ( ) = " # (∫$%& + %&   = ⇒ ( ) = ⇒ ( ) = 2ème méthode (d'après les tables de transformées de Laplace) : ( ) = ℒ[()] = " # [ℒ(%& ⇒ ( ) = ⇒ ( ) = c) () = )# sachant que : ⇒ ( d) () = .) +( −2) Sachant que ℒ[u(t −2) ⇒ ( ) = ℒ[ UNIVERSITE IBN-KHALDOUN DE TIARET Faculté des Sciences Appliquées Département de Génie Mécanique 3 ème Année Licence Maintenance Industrielle Systèmes asservis et régulation. Corrigé des exercices de la série TD N°02 Calcul des transformées de Laplace directes :  0 = ∫     0 = ∫ ( )   0   ⇒ ( ) = " ( ) Sachant que cos( ) = 4545 # méthode (à partir de la définition de la transformée de Laplace) :  0 = ∫ cos( )    0 %& 6 0 = " # (∫ %&    0 + ∫ %&    1 2 (8 (%&)   0 + 8 (%&)   0) ( ) = " # [ " %& + " %&] ( ) =  9&9 car ℒ[ ] = "  (d'après les tables de transformées de Laplace) : %& < + ℒ(%& <] ( ) = " # [ " %& + " %&] ( ) =  9&9 car ℒ[ ] = "  sachant que : ℒ[ . =()] = >( + ?) et ℒ[@] = ( ) = ℒ[()] = )! (#)B )] = 9  car ℒ[g(t −T)] = E. >( ) [()] = 9(F.G) .) car ℒ[ . =()] = >( 1 0  0) ] @! (HI) (à partir du tableau) ) + ?) 2 e) f(t) = KA 0 ≤t ≤T 0 ailleurs R () est, en fait, la somme algébrique de 2 échelons unitaires : le premier partant de t=0, le second partant de t=T, mais de signe négatif. () = S[+() −+( −T)] ⇒ ( ) = ℒ[()] = S[ℒ[+()] −ℒ[+( −T)]] ⇒ ( ) =  "  − "  E car ℒ[g(t −T)] = E. >( ) f) f(t) = KAeUV0 ≤t ≤T 0 ailleurs R À traiter à la maison. Exercice 2 : Calcul des transformées inverses de Laplace : a) ( ) = # (")(#) Cette fonction possède 3 pôles réels (0,-1,+2) ⇒ ( ) = [ W  + X (") + Y (#)] S = Z[\→  ." (")(#) = −1 ^ = Z[\→"  (")." (")(#) = # _ ` = Z[\→#  (#)." (")(#) = " _ ⇒ ( ) = [ "  + 9 a (") + I a (#)] ⇒ () = ℒ"[ ( )] = [−1 + # _  + " _ # ] b) ( ) = (#) 9## ( ) = 9# 9## = 9## 9## − # 9## ( ) = 1 − # 9## = 1 − 1( ) "( ) à deux pôles complexes conjuguées (-1+j ,-1-j ) ( ) = 1 − # ("%)("%) = 1 − # (")9" Sachant que ℒ[sin ( )] = & 9&9 et ℒ[ sin ( )] = & ( )9&9 Donc () = ℒ"[ ( )] = ∆() −2 sin () 3 c) ( ) = #9de 9_# Degré du numérateur ≥ Degré du dénominateur (n=m=2) division euclidienne. 2 # + 7 + 8 = 2( # + 3 + 2) + ( + 4) Donc ( ) = 2 + j 9_# = 2 + 1( ) F"(p) à deux pôles réels (-1,-2 ) ⇒ "( ) = W (") + X (#) S = Z[\→"  (")(j) (")(#) = 3 ^ = Z[\→#  (#)(j) (")(#) = −2 ( ) = 2 + _ (") − # (#) () = ℒ"[ ( )] = 2∆() + 3 −2# 0) ( ) = )"m (#)9()) 1 pôle double (–2) et 1 pôle réel (–5) ⇒ ( ) = n1 (#)9 + n2 (#) + W ()) On utilise la formule suivante : no = Z[\ → 1 1 ([−1)! 0 0 [−1 $ − 16 p ( ) (Voir le cours) ⇒ n" = Z[\ →−2 1 (0)! 0 0 0 (( + 2)2 ( )< = 2 n# = Z[\ →−2 1 (1)! 0 0 1 (( + 2)2 ( )< = 1 S = Z[\→)[( + 5) ( )] = −1 (Pole simple) ⇒ ( ) = 2 (#)9 + 1 (#) − " ()) ⇒ () = ℒ"[ ( )] = 2# + # −) Exercice 3 : Résolution des équations différentielles en utilisant les transformées de Laplace : a) r ̈ () + 3r() = [t() avec r(0) = 1 ; ṙ(0) = 2 ℒ[ r ̈ ()] = #w( ) − r(0) −ṙ(0) et ℒ[ [t ()] = " 9" L’équation devient #w( ) − −2 + 3w( ) = 1 9" ⇒ w( )( # + 3) = ( + 2) + 1 9" ⇒ w( ) = +2 9_ + 1 (9_)(9") ⇒ w( ) = +2 9_ + 1/2 (9") − 1/2 9_ ⇒ w( ) = +3/2 9_ + 1/2 (9") 4 ⇒ w( ) = 9_ + √_ # √_ 9_ + 1/2 (9") r() = ℒ"[w( )] = cos$√36 + √_ # [t(√3) + " # sin () b) za{( ) z a + 5 z9{( ) z 9 + 6 z{ z = 0 avec r(0) = 3 ṙ(0) = −2 r̈(0) = 7 R ℒ z{ z = w( ) −r(0) ℒ z9{( ) z 9 = #w( ) − r(0) −ṙ(0) ℒ za{( ) z a = _w( ) − #r(0) − ṙ(0) −r̈(0)⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ L’équation devient _w( ) −3 # + 2 −7 + 5( #w( ) −3 + 2) + 6( w( ) −3) = 0 ⇒ w( ) = _9"_") (9)m) ⇒ w( ) = _9"_") (#)(_) ⇒ w( ) =  ‚ + ƒ (‚#) + „ (‚_) On peut calculer A,B et C de la même manière que l’exercice 2.a On trouve que w( ) = )/# ‚ + "/# (‚#) + " (‚_) r() = ℒ"[w( )] = 5 2 −1 2 # + _ c) À traiter à la maison Exercice 4 : a) En utilisant les théorèmes des valeurs initiale et finale, calculez f(t→0+) et f(t→∞) pour la fonction suivante : ( ) = 9#j a_9# Calcul de f(t→0+) « valeur initiale » : Z[\ → () = Z[\ → ( ) = Z[\ → 9#j a_9# = 1 Calcul de f(t→∞) « valeur finale » : Z[\ → () = Z[\ → ( ) = Z[\ → 9#j a_9# = 2 b) Calcul de la valeur finale de z†( ) z lorsque la transformée de Laplace de () est donnée par : F(p) = ℒ[f(t)] = #‚" ‚9‚" À traiter à la maison comme devoir uploads/Litterature/ corrige-de-td02.pdf

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