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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Limites et continuité Bernar

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Limites et continuité Bernard Ycart Vous avez déjà une compréhension intuitive de ce qu’est la limite d’une fonction. Ce chapitre n’en est pas moins le plus important de votre cours d’analyse. C’est l’occasion ou jamais de comprendre les epsilons ! Votre travail devrait être facilité si vous avez déjà assimilé le chapitre sur les suites, mais ce n’est pas indispensable. Table des matières 1 Cours 1 1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Limites unilatérales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Convergence des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Limites à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9 Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Entraînement 22 2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Compléments 42 3.1 Cauchy et les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Arguments de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4 Discontinuités des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5 Pourquoi déﬁnir la continuité ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8 novembre 2011 Maths en Ligne Limites et continuité UJF Grenoble 1 Cours 1.1 Vocabulaire Une fonction f de R dans R est déﬁnie par son graphe : c’est un sous-ensemble Γ de R × R, tel que pour tout x ∈R, au plus un réel y vériﬁe (x, y) ∈Γ. S’il existe, ce réel y est l’image de x et est noté f(x). L’ensemble des x qui ont une image par f est le domaine de déﬁnition de f. Nous le noterons Df. La notation standard est la suivante : f Df − → R x 7− → f(x) Si A est un sous-ensemble de Df, l’image de A, notée f(A), est l’ensemble des images des éléments de A. f(A) = { f(x) , x ∈A } Si B est un sous-ensemble de R, l’image réciproque de B, notée f −1(B), est l’ensemble des antécédents des éléments de B. f −1(B) = { x ∈Df , f(x) ∈B } Attention à la notation f −1 : f −1(B) est déﬁni même si f n’est pas bijective. Par exemple, si f est l’application valeur absolue, x 7→|x|, f(] −2, 1[) = [0, 2[ et f −1([1, 2]) = [−2, −1] ∪[1, 2] Déﬁnition 1. Soit f une fonction, de domaine de déﬁnition Df, à valeurs dans R. On dit que f est : • constante si ∀x, y ∈Df , f(x) = f(y) • croissante si ∀x, y ∈Df , (x ⩽y) = ⇒(f(x) ⩽f(y)) • décroissante si ∀x, y ∈Df , (x ⩽y) = ⇒(f(x) ⩾f(y)) • strictement croissante si ∀x, y ∈Df , (x < y) = ⇒(f(x) < f(y)) • strictement décroissante si ∀x, y ∈Df , (x < y) = ⇒(f(x) > f(y)) • monotone si elle est croissante ou décroissante • majorée si f(Df) est majoré • minorée si f(Df) est minoré • bornée si f(Df) est borné Le plus souvent, ces déﬁnitions s’appliqueront à des restrictions de f à un intervalle I inclus dans Df. f|I I − → R x 7− → f(x) 1 Maths en Ligne Limites et continuité UJF Grenoble Déﬁnition 2. Soit f une fonction de R dans R et x ∈Df. Soit P une des propriétés de la déﬁnition 1. On dit que f possède la propriété P • au voisinage de x s’il existe un intervalle ouvert I contenant x, tel que la restric- tion de f à I possède la propriété P. • au voisinage de +∞s’il existe un réel A tel que la restriction de f à ]A, +∞[ possède la propriété P. • au voisinage de −∞s’il existe un réel A tel que la restriction de f à ] −∞, A[ possède la propriété P. Par exemple, la fonction valeur absolue x 7→|x|, est : • décroissante au voisinage de −∞ • décroissante au voisinage de −1 • croissante au voisinage de 1 • croissante au voisinage de +∞ • bornée au voisinage de 0 Les opérations sur les réels s’étendent aux fonctions de manière naturelle. • addition : f + g Df ∩Dg − → R x 7− → (f + g)(x) = f(x) + g(x) • multiplication : fg Df ∩Dg − → R x 7− → (fg)(x) = f(x)g(x) • multiplication par un réel : λf Df − → R x 7− → (λf)(x) = λ(f(x)) • comparaison : f ⩽g ⇐ ⇒∀x ∈Df ∩Dg , f(x) ⩽g(x) L’addition a les mêmes propriétés que celle des réels : l’ensemble des fonctions de R dans R muni de l’addition est un groupe commutatif. Muni de l’addition et de la multiplication par un réel, c’est un espace vectoriel. Cependant, le produit de deux fonctions peut être nul sans que les deux fonctions le soient. 1.2 Convergence Nous commençons par la convergence en un point, vers une limite ﬁnie. Aﬁn d’éviter les cas pathologiques, nous supposerons toujours que les fonctions étudiées sont déﬁnies au voisinage du point considéré (cf. déﬁnition 2). 2 Maths en Ligne Limites et continuité UJF Grenoble Déﬁnition 3. Soit a un réel et f une fonction déﬁnie au voisinage de a, sauf peut-être en a, et à valeurs dans R. Soit l un réel. On dit que f tend vers l quand x tend vers a, ou que f a pour limite l en a si ∀ε > 0 , ∃η > 0 , (0 < |x −a| ⩽η) = ⇒(|f(x) −l| ⩽ε) (1) On notera : lim x→a f(x) = l ou bien f(x) − − → x→a l . Tout intervalle centré en l contient toutes les valeurs f(x), pour x suﬃsamment proche de a. Observez que f peut très bien ne pas être déﬁnie en a, et admettre quand même une limite en a. Voici un premier exemple uploads/Litterature/ lc-pdf.pdf