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Fénelon Sainte-Marie 2014-2015 PC/PSI [1-14] Marc Lichtenberg TD – Piles et fil

Fénelon Sainte-Marie 2014-2015 PC/PSI [1-14] Marc Lichtenberg TD – Piles et files Corrigé Piles Exercice N°1 – Copie d’une pile Ecrire une fonction stack_copy(s) recevant une pile (s) comme argument et renvoyant une copie s2 de s. Attention, la pile s doit (bien sûr) être conservée ! Evaluer le coût en mémoire et le nombre d’opérations de la fonction. Puisque, dans une pile, nous ne pouvons manipuler que le sommet de la pile, nous n’avons pas d’autre choix, pour pouvoir accéder aux éléments successifs de s, que de la dépiler dans un premier temps (1ère boucle for ci-dessous) … def stack_copy(s): s2 = stack_create() if len(s) != 0: t = stack_create() for i in range(len(s)): e = stack_peek(s) stack_pop(s) stack_push(t,e) for i in range(len(t)): e = stack_peek(t) stack_pop(t) stack_push(s,e) stack_push(s2,e) return(s2) Notons n la taille de l’espace mémoire occupé par la pile s. A priori, la fonction stack_pop libère progressivement l’espace mémoire occupé par s. Mais parallèlement, on construit la pile t. Ainsi, l’espace mémoire total requis par les piles s et t dans la première boucle for est constant et égal à n. Dans la deuxième boucle for, on vide la pile t mais on construit au fur et à mesure les piles s et s2. Ainsi, l’occupation mémoire lors de l’exécution de la deuxième boucle passe de n à TD – Piles et files / Corrigé Fénelon Sainte-Marie 2014-2015 PC/PSI [2-14] Marc Lichtenberg 2n. Bien sûr, si on ne souhaite pas conserver s, cette occupation est à nouveau égale à n (on dépile t pour construire s2). Pour ce qui est des appels à des fonctions, on se limite aux fonctions stack_peek, stack_pop et stack_push. Dans la première boucle for, on a n appels à chacune des fonction stack_peek, stack_pop et stack_push. Dans la seconde boucle for, on a n appels à chacune des fonction stack_peek et stack_pop et 2n appels à la fonction stack_push. En définitive, on a : • 2n appels à la fonction stack_peek. • 2n appels à la fonction stack_pop. • 3n appels à la fonction stack_push. Si on ne souhaite pas conserver s, on ne reconstruira pas cette pile dans la deuxième boucle for et on aura « seulement » n appels à la fonction stack_push pour un total de 2n appels (au lieu de 3n). Exercice N°2 – Inversion d’une pile Ecrire une fonction stack_reverse recevant une pile (s) comme argument et renvoyant une copie inversée rs de s. Attention, la pile s doit être conservée ! Evaluer le coût en mémoire et le nombre d’opérations de la fonction. Dans l’écriture de la fonction précédente, on a vu que la première boucle for permettait d’obtenir une nouvelle pile, inverse de la pile initiale MAIS en lieu et place de celle-ci. Pour conserver cette pile initiale, il suffit donc, dans un premier temps, de la copier en utilisant la fonction stack_copy ! def stack_reverse(s): rs = stack_create() if len(s) != 0: sc = stack_copy(s) for i in range(len(s)): e = stack_peek(sc) stack_pop(sc) stack_push(rs,e) return(rs) Notons encore n la taille de l’espace mémoire occupé par la pile s. Dans l’exercice précédent, on a vu que, en conservant la pile initiale, le besoin en mémoire de la fonction stack_copy était de 2n. TD – Piles et files / Corrigé Fénelon Sainte-Marie 2014-2015 PC/PSI [3-14] Marc Lichtenberg Pour ce qui est des fonctions, on avait : • 2n appels à la fonction stack_peek. • 2n appels à la fonction stack_pop. • 3n appels à la fonction stack_push. La construction de la pile rs n’engendre pas de besoin mémoire supplémentaire. En revanche, cette construction de rs engendre : • n appels à la fonction stack_peek. • n appels à la fonction stack_pop. • n appels à la fonction stack_push. En définitive, on a au total : • 3n appels à la fonction stack_peek. • 3n appels à la fonction stack_pop. • 4n appels à la fonction stack_push. En résumé, pour une liste s de longueur n : Avec conservation de s Sans conservation de s Besoin en mémoire 2n n Appels stack_peek 3n n Appels stack_pop 3n n Appels stack_push 4n n Sans surprise, ce tableau illustre clairement le fait que c’est la conservation de s qui est coûteuse en mémoire et en appels aux fonctions stack_peek, stack_pop et stack_push. TD – Piles et files / Corrigé Fénelon Sainte-Marie 2014-2015 PC/PSI [4-14] Marc Lichtenberg Exercice N°3 – Permutations circulaires (acte 1) Ecrire une fonction stack_circperm qui reçoit en argument une pile s et un entier n et effectue sur la pile n permutations circulaires successives. Dans cet exercice, c’est la pile s elle-même qui sera modifiée. Exemple avec n=2 : 7 98 11 2 98 donnera 103 2 7 103 11 Evaluer le coût en mémoire et le nombre d’opérations de la fonction. Une première remarque en guise de préambule : on peut supposer que l’utilisateur (ou le programme appelant) fournisse bien pour n un entier naturel. Mais il est possible que cet entier soit plus grand que la longueur de la pile s. Ainsi, le nombre effectif de permutations circulaires à mettre en œuvre est en fait égal au reste r de la division euclidienne de n par len(s), soit, en Python : r=n%len(s). Il est clair que si ce reste est nul, il convient de ne rien faire ! Illustrons le principe général de l’algorithme à partir de l’exemple fourni dans l’énoncé. On commence par construire une pile s2 contenant les r premiers éléments de la pile s qui est donc successivement dépilée. On se retrouve ainsi avec les deux piles : 98 2 11 103 7 s s2 On inverse alors la pile s (on note rs la pile inversée). On pourrait bien sûr utiliser la fonction de l’exercice 2 mais conserver la pile s ne nous est à priori ici d’aucune utilité. La pile rs est donc obtenue directement en dépilant la pile s. On obtient : 103 2 11 98 7 rs s2 La pile demandée, que nous notons cps, est alors directement obtenue en dépilant successivement s2 puis rs. TD – Piles et files / Corrigé Fénelon Sainte-Marie 2014-2015 PC/PSI [5-14] Marc Lichtenberg def stack_circperm(s,n): n = n%len(s) if n != 0: # Construction de s2 s2 = stack_create() for i in range(n): x = stack_peek(s) stack_pop(s) stack_push(s2,x) # Construction de rs rs = stack_create() for i in range(len(s)): x = stack_peek(s) stack_pop(s) stack_push(rs,x) # Construction de cps cps = stack_create() for i in range(len(s2)): x = stack_peek(s2) stack_pop(s2) stack_push(cps,x) for i in range(len(rs)): x = stack_peek(rs) stack_pop(rs) stack_push(cps,x) return cps Soit L la taille de la pile s : • dans la première boucle for, on dépile s pour construire s2 : le besoin en mémoire est toujours égal à L. • dans la seconde boucle, on inverse la pile s pour construire la pile rs mais sans en garder de copie : le besoin en mémoire est toujours égal à L. • enfin, dans les deux dernières boucles, on dépile les listes s2 et rs respectivement pour construire la pile cps : une fois encore, le besoin en mémoire est égal à L. Le besoin en mémoire de la fonction stack_circperm est égal à la taille de la liste s passée en argument (la variable n devrait en toute rigueur être prise en compte mais pour L grand, le besoin en mémoire admet L pour équivalent). Pour ce qui est des appels à des fonctions, on se limite aux fonctions stack_peek, stack_pop et stack_push : • dans la première boucle for, on a n appels à chacune des fonctions stack_peek, stack_pop et stack_push. • dans la seconde boucle for, on a L-n (longueur de la pile s) appels à chacune des fonctions stack_peek, stack_pop et stack_push. • dans la troisième boucle for, on a n appels à chacune des fonctions stack_peek, stack_pop et stack_push. TD – Piles et files / Corrigé Fénelon Sainte-Marie 2014-2015 PC/PSI [6-14] Marc Lichtenberg • enfin, dans la quatrième boucle for, on a L-n appels à chacune des fonctions stack_peek, stack_pop et stack_push. En définitive, on a 2L appels à chacune des fonctions stack_peek, stack_pop et stack_push. Exercice N°4 – Permutations circulaires (acte 2) Ecrire une fonction stack_circperm2 qui reçoit en argument une pile s et un entier k et effectue une permutation circulaire sur les k premiers éléments de la pile. Dans cet exercice, c’est la pile s elle-même qui sera modifiée. Exemple avec k=4 : 7 11 11 98 98 donnera 2 2 7 103 103 5 5 Evaluer le coût en mémoire et le nombre d’opérations de la fonction. Remarquons d’abord que la modification souhaitée n’a de sens que si l’entier k est inférieur ou égal à la longueur de la pile s. A partir de là, on peut adopter deux approches : • On utilise la fonction stack_circperm de l’exercice précédent mais en l’appliquant à une certain pile. • On note que le problème consiste à déplacer le sommet de s. Evidemment, on ne fait quelque chose sur s que si uploads/Litterature/ pilesfiles-td-corrige-pdf.pdf