Chapitre1 Espaces Probabilisés 1.1 Introduction 1.1.1 Une expérience et deux ép

Chapitre1 Espaces Probabilisés 1.1 Introduction 1.1.1 Une expérience et deux épreuves Considérons l’expérience suivante : On lance une fois un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On a 6 éventualités, ou résultats possibles. On note Ωl’univers des possibles, ou l’ensemble des éventualités. • Épreuve n◦1 : on s’intéresse au chiffre apparu. • Épreuve n◦2 : on s’intéresse à la parité du chiffre apparu. On définit ainsi deux épreuves liées à la même expérience. Chaque épreuve engendre une partition Ω′ de Ω. Ω′ est l’ensemble des évènements élémentaires. 1 2 CHAPITRE 1. ESPACES PROBABILISÉS Dans cette expérience : Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • Pour la première épreuve : Ω= {1} ∪{2} ∪{3} ∪{4} ∪{5} ∪{6} avec la partition Ω′ 1 =  {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} • Pour la deuxième épreuve : Ω= {1, 3, 5} ∪{2, 4, 6} avec la partition Ω′ 2 =  {1, 3, 5}, {2, 4, 6} = {I, P} Un évènement composé d’une épreuve est une réunion d’évènements élémentaires de cette épreuve. • Dans la première épreuve (canonique), il y a 6 évènements élémentaires qui forment la partition Ω′ 1 de Ωconstituée de tous les singletons éventualités de Ω: {i} pour i ∈{1, . . . , 6}. • Dans la deuxième épreuve, il y a 2 évènements élémentaires qui forment une autre partition Ω′ 2 de Ω, avec : I = {1, 3, 5} (les impairs) et P = {2, 4, 6} (les pairs). Remarque : Soit A = {1, 2, 3} = {1} ∪{2} ∪{3}, alors A est un évènement (composé) dans la première épreuve, mais il n’est pas un évènement dans la deuxième épreuve. Soit B l’ensemble des évènements liés à une épreuve : • Dans la 1ère épreuve, B1 = P(Ω) avec card (B1) = 2 card (Ω′ 1) = 26 = 64. Il y a 64 évènements dans la première épreuve. • Dans la 2ème épreuve, B2 = {∅, I, P, Ω} avec card (B2) = 2 card (Ω′ 2) = 22 = 4. Il y a 4 évènements dans la seconde épreuve. On considère un ensemble, noté Ω, qui est l’ensemble des résultats possibles ω d’une épreuve aléatoire. Des sous-ensembles de Ωsont des évènements liés à cette épreuve. On désignera par B ⊂P(Ω) l’ensemble de ces évènements. Ωet ∅sont des évènements, Ωest appelé évènement sûr et ∅est l’évènement impossible. Définition 1 On veut pouvoir faire des opérations, ou des comparaisons entre évènements. On voudra donc que B soit stable par certaines opéra- tions, qui vont suivre. 1.1. INTRODUCTION 3 1.1.2 Opérations sur les évènements B ⊂P(Ω) est l’ensemble des évènements liés à l’épreuve considérée. Pour tout (A, A1, A2) ∈B3 : • A est l’évènement « contraire » de A (également noté AC, complémentaire de A). • A1∩A2 est l’évènement « A1 et A2 » (également noté A1·A2). • A1 ∪A2 est l’évènement « A1 ou A2 ». • A1∆A2 est l’évènement « un et un seul des évènements A1 ou A2 ». ∆est le symbole de la différence symétrique. 4 CHAPITRE 1. ESPACES PROBABILISÉS • A1 \A2 = A1 ∩A2 est l’évènement « l’évènement A1 est réalisé mais A2 ne l’est pas ». • Si A1 ∩A2 = ∅, A1 et A2 sont dits « incompatibles ». Ils ne peuvent pas se réaliser simultanément. • Si A1 ⊂A2, on dit que « la réalisation de A1 entraine la réalisation de A2 ». • B = A1 + A2 ⇔  A1 ∩A2 = ∅ B = A1 ∪A2 Le symbole + est la notation pour « union disjointe ». 1.2. ESPACES PROBABILISABLES 5 1.2 Espaces probabilisables 1.2.1 Espace probabilisable fini Soit Ωl’univers fini des possibles. Soit B ⊂P(Ω) l’ensemble des évènements liés à une épreuve, avec B ̸= ∅. On dit que B est une algèbre de Boole d’évènements (ou une tribu sur Ω) si : • Ω∈B • B est stable par passage au contraire (ou complémentaire) : ∀A ∈B, A ∈B • B est stable par union finie : ∀(A1, A2) ∈B2, A1 ∪A2 ∈B (Ω, B) est appelé espace probabilisable fini. Définition 2 Si B = P(Ω), on dit que la tribu est totale ou canonique sur Ω. Retour sur l’expérience du jet d’un dé : On avait Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} et B2 = {∅, I, P, Ω}. Soit Ω′ 2 = {I, P} l’ensemble des évènements élémentaires de cette épreuve, c’est une partition de Ω. On a P(Ω′ 2) =  ∅, {I}, {P}, Ω′ 2 . On considère l’application ϕ :                P(Ω′ 2) − →B2 ∅ 7− → ∅ {I} 7− → I {P} 7− → P Ω′ 2 7− → Ω Cette application est bijective par construction, donc : card(B2) = card(P(Ω′ 2)) = 2 card(Ω′ 2) Ainsi, le nombre d’évènements de B2 est égal à 2 nombre d’évènements élémentaires. Cas général : L’exemple précédent se généralise avec le théorème suivant. 6 CHAPITRE 1. ESPACES PROBABILISÉS Soit Ωun ensemble fini et B une algèbre de Boole de parties de Ω. Il existe une partition de Ωen parties Ei (1 ⩽i ⩽n) telle que B est constituée de l’ensemble vide et de toutes les unions finies d’ensembles (Ei)1⩽i⩽n. Théorème 3 • Les (Ei)1⩽i⩽n sont les évènements élémentaires de l’algèbre de Boole B. • B est équipotent à P(Ω′) où Ω′ est l’ensemble des (Ei)1⩽i⩽n. Toute algèbre de Boole B définie sur un univers fini Ωa donc un cardinal égal à une puissance de 2. En effet : card(B) = card(P(Ω′)) = 2 card(Ω′). 1.2.2 Espace probabilisable infini Soit Ωl’univers infini des possibles. Soit A ⊂P(Ω) l’ensemble des évènements liés à une épreuve, avec A ̸= ∅. On dit que A est une σ-algèbre de Boole d’évènements (ou une tribu sur Ω) si : • Ω∈A • A est stable par passage au contraire : ∀A ∈A, A ∈A. • A est stable par union dénombrable :  ∀i ∈N∗, Ai ∈A  = ⇒  [ [ [ i∈N∗ Ai ∈A  . (Ω, A) est appelé espace probabilisable infini. Définition 4 P(Ω), ∆, ∩  a une structure d’anneau commutatif. Proposition 5 1.2. ESPACES PROBABILISABLES 7 En particulier : • ∅est le neutre pour ∆ • ∆est associative • Ωest le neutre pour ∩. • ∩est distributive par rapport à ∆. 1.2.3 Premières propriétés Pour toute algèbre de Boole B sur un univers Ωet pour tout n ∈N∗, on a : • ∅∈B • Stabilité par intersection finie : ∀(A1, . . . , An) ∈Bn, n \ i=1 Ai ∈B • Stabilité par union finie : ∀(A1, . . . , An) ∈Bn, n [ i=1 Ai ∈B • Stabilité par différence : ∀(A1, A2) ∈B2, A1 \ A2 ∈B • Stabilité par différence symétrique ∆: ∀(A1, A2) ∈B2, A1∆A2 ∈B. Toute σ-algèbre de Boole A est en particulier une algèbre de Boole et vérifie donc les propriétés ci-dessus. De plus, on a la stabilité par l’union dénombrable (c’est dans la définition) et la stabilité pour l’intersection dénombrable :  ∀i ∈N∗, Ai ∈A  = ⇒  \ i∈N∗ Ai ∈A  . Propriété 6 8 CHAPITRE 1. ESPACES PROBABILISÉS Pour toute algèbre de Boole B, B, ∆, ∩  est un sous anneau idempotent (∀A ∈B, A∩A = A, donc A2 = A) de P(Ω), ∆, ∩  . Proposition 7 1.2.4 Lemme de décomposition Lemme 1. Pour tout n ⩾2 et pour toute famille (Ai)i∈{1,...,n} de parties de Ω: n [ i=1 Ai = n X i=1 Ai \ i−1 [ j=1 Aj ! = A1 + (A2 \ A1) + (A3 \ (A2 ∪A1)) + · · · autre écriture = n X i=1 " Ai ∩ i−1 \ j=1 Aj !# Démonstration. On raisonne par récurrence. • Initialisation : si n = 2, A1 ∪A2 = A1 + (A2 ∩A1) = A1 + (A2 \ A1). • Hérédité : on suppose qu’il existe n ⩾2 tel que la formule est vraie au rang n. n+1 [ i=1 Ai = n [ i=1 Ai ! ∪An+1 = n [ i=1 Ai + An+1 \ n [ i=1 Ai ! = n X i=1 " Ai \ i−1 [ j=1 Aj # + An+1 \ n [ i=1 Ai ! = n+1 X i=1 " Ai \ i−1 [ j=1 Aj # Donc la relation est vraie au rang n + 1. • Conclusion : par le théorème de récurrence, on a donc le résultat voulu. 1.2. ESPACES PROBABILISABLES 9 1.2.5 Tribu engendrée L’intersection de tribus de Ωest encore une tribu de Ω. Théorème 8 On appelle tribu engendrée par une partie A0 de P(Ω) la plus petite tribu contenant A0. C’est l’intersection de toutes les tribus contenant A0. Définition 9 Elle contient les éléments de A0, leurs complémentaires, les réunions dénombrables de ceux-ci et de ceux-là, . . . Exemple fondamental : tribu des boréliens de R. A uploads/Litterature/ polycopie-du-cours-semaine-1.pdf

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