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Fili` ere : Sciences ´ Economiques & Gestion Analyse math´ ematique Semestre :

Fili` ere : Sciences ´ Economiques & Gestion Analyse math´ ematique Semestre : 1 Ann´ ee universitaire : 2020-2021 Ali Jaatit 2 Professeur Ali Jaatit Facult´ e Pluridisciplinaire de Nador Laboratoire Ibn Al banna de Math´ ematiques-LIABM Universit´ e Mohammed Premier E-mail : a.jaatit@ump.ac.ma Table des mati` eres 1 Fonctions d’une variable r´ eelle 1 1 G´ en´ eralit´ es sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Continuit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 D´ erivabilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 i Chapitre 1 Fonctions d’une variable r´ eelle 1 G´ en´ eralit´ es sur les fonctions 1.1 Fonction r´ eelle d’une variable r´ eelle Soit I une partie de R. Une fonction r´ eelle f d’une variable r´ eelle de I dans R est une correspondance qui ` a tout ´ el´ ement x de I associe au plus une valeur r´ eelle y. Soit f : I − →R x 7→f(x) = y. Le nombre y s’appelle l’image de x par f, et le nombre x s’appelle l’ant´ ec´ edent de y par f. L’ensemble Df := {x ∈I | f(x) existe} est appel´ e domaine de d´ eﬁnition de f. L’ensemble {(x, f(x)) | x ∈Df} est appel´ e graphe (ou courbe) de f. Exemple : Soit la fonction : f : R − →R x − →f(x) = √x+1 x . Le domaine de d´ eﬁnition de la fonction f est Df = {x ∈R/x + 1 ≥0 et x ̸= 0} = {x ∈R/x ≥−1 et x ̸= 0} = −1, 0 ∪ 0, +∞ . 1 2 Fonctions d’une variable r´ eelle 1.2 D´ eﬁnitions Soit f une fonction r´ eelle d´ eﬁnie sur partie D de R. D´ eﬁnition 1.1. On dit que f est : • paire si ∀x ∈D, −x ∈D et f(−x) = f(x). • impaire si ∀x ∈D, −x ∈D et f(−x) = −f(x). Exemples : ✓Les fonctions x 7→|x| et x 7→cos(x) d´ eﬁnies sur R sont des fonctions paires. ✓Les fonctions x 7→x3 et x 7→sin(x) d´ eﬁnies sur R sont des fonctions impaires. Remarques : • La courbe d’une fonction paire est sym´ etrique par rapport ` a l’axe des ordonn´ es. • La courbe d’une fonction impaire est sym´ etrique par rapport ` a l’origine du rep` ere. D´ eﬁnition 1.2. On dit que f est p´ eriodique s’il existe un nombre r´ eel non nul T tel que ∀x ∈D, x + T ∈D et x −T ∈D, et f(x + T) = f(x) La p´ eriode de f est la plus petite valeur strictement positive de T. Exemple : La fonction x 7→f(x) = sin(x) d´ eﬁnie sur R est p´ eriodique de p´ eriode 2π car ∀x ∈R, sin(x + 2π) = sin(x). D´ eﬁnition 1.3. La fonction f est dite : • major´ ee sur D s’il existe un r´ eel M tel que ∀x ∈D, f(x) ≤M. • minor´ ee sur D s’il existe un r´ eel m tel que ∀x ∈D, f(x) ≥m. • born´ ee sur D s’il existe deux r´ eels M et m tels que ∀x ∈D, m ≤f(x) ≤M. Exemples : ✓La fonction x 7→cos(x) est born´ ee sur R. En eﬀet, ∀x ∈R : −1 ≤cos(x) ≤1 ✓La fonction x 7→ex n’est pas born´ ee sur R, mais elle minor´ ee par 0 car 0 ≤ex (x ∈R). D´ eﬁnition 1.4. La fonction f est dite : • croissante sur D si ∀x, y ∈D, x ≤y ⇒f(x) ≤f(y). • d´ ecroissante sur D si ∀x, y ∈D, x ≤y ⇒f(x) ≥f(y). • strictement croissante sur D si ∀x, y ∈D, x < y ⇒f(x) < f(y). • strictement d´ ecroissante sur D si ∀x, y ∈D, x < y ⇒f(x) > f(y). • monotone sur D si elle croissante sur D ou d´ ecroissante sur D. • strictement monotone sur D si elle strictement croissante sur D ou strictement d´ ecroissante sur D. 2 Limite 3 2 Limite 2.1 Limite en un point, Limite ` a droite et limite ` a gauche La notion de limite est une notion locale. Pour d´ eﬁnir la limite de f en un point x0 ∈R il faut et il suﬃt que f soit d´ eﬁnie au voisinage de x0 sauf peut ˆ etre en x0. on appelle voisinage de x0 tout intervalle de la forme ]x0 −η; x0 + η[ o` u η > 0. D´ eﬁnition 2.1. Soient I un intervalle de R et x0 ∈I. Soit f une fonction d´ eﬁnie sur I, sauf peut ˆ etre en x0. On dit que f admet une limite ℓ∈R quand x tend vers x0 si ∀ε > 0 ∃η > 0 : |x −x0| < η = ⇒|f(x) −ℓ| < ε. Autrement dit on peut rendre |f(x) −ℓ| assez petit que l’on veut ` a condition de prendre x suﬃsamment proche de x0. Il est possible aussi de consid´ erer des limites o` u x0 et ℓsont ´ egaux ` a +∞ou −∞. D´ eﬁnition 2.2. Soient a, b, x0 ∈R tels que a < x0 < b. Soit f une fonction r´ eelle d´ eﬁnie sur ]x0, b[. On dit que f admet une limite ℓ∈R ` a droite en x0 si ∀ε > 0 ∃η > 0 : 0 < x −x0 < η = ⇒|f(x) −ℓ| < ε. On note lim x→x+ 0 f(x) = ℓ. Soit f une fonction r´ eelle d´ eﬁnie sur ]a, x0[. On dit que f admet une limite ℓ∈R ` a gauche en x0 si ∀ε > 0 ∃η > 0 : 0 < x0 −x < η = ⇒|f(x) −ℓ| < ε. On note lim x→x− 0 f(x) = ℓ On peut aussi consid´ erer des limites ` a droite, limites ` a gauche en x0 o` u ℓest ´ egale ` a +∞ ou −∞. Proposition 2.1. Soit f une fonction r´ eelle qui admet une limite ` a droite et une limite ` a gauche de x0. Alors f admet une limite ℓquand x tend vers x0 si et seulement si lim x→x+ 0 f(x) = lim x→x− 0 f(x) = ℓ. 4 Fonctions d’une variable r´ eelle 2.2 Op´ erations sur les limites Soit x0 ∈R ∪{+∞, −∞}. Limite de la somme : lim x→x0[f(x) + g(x)] lim x→x0 f(x) ℓ +∞ −∞ lim x→x0 g(x) ℓ′ ℓ+ ℓ′ +∞ −∞ +∞ +∞ +∞ F.I −∞ −∞ F.I −∞ F.I signﬁe forme ind´ etermin´ ee Limte du produit : lim x→x0[f(x)g(x)] lim x→x0 f(x) ℓ> 0 ℓ= 0 ℓ< 0 +∞ −∞ lim x→x0 g(x) ℓ′ > 0 ℓℓ′ 0 ℓℓ′ +∞ −∞ ℓ′ = 0 0 0 0 F.I F.I ℓ′ < 0 ℓℓ′ 0 ℓℓ′ −∞ +∞ +∞ +∞ F.I −∞ +∞ −∞ −∞ −∞ F.I +∞ −∞ +∞ Limte de : lim x→x0 1 f(x) : lim x→x0 f(x) ℓ̸= 0 0+ 0− +∞ −∞ lim x→x0 1 f(x) 1 ℓ +∞ −∞ 0 0 Exemples : • Soient P(x) et Q(x) deux polynˆ omes de degr´ es n et m respectivement. 2 Limite 5 Calculons la limite lim x→±∞ P(x) Q(x). On a P(x) Q(x) = anxn + . . . + a1x + a0 bmxm + . . . + b1x + b0 = xn(an + an−1 x + . . . + a1 xn−1 + a0 xn) xm(bm + bm−1 x + . . . + b1 xm−1 + b0 xm) Donc lim x→±∞ P(x) Q(x) =    ±∞ si n > m, an bm si n = m, 0 si n < m. • lim x→±∞ 7x3 + x2 + 1 5x3 −1 = lim x→±∞ 7x3 5x3 = 7 5. • lim x→±∞ 7x3 + x2 + 1 5x4 −1 = lim x→±∞ 7x3 5x4 = lim x→±∞ 7 5x = 0. • lim x→±∞ 7x3 + x2 + 1 5x2 −1 = lim x→±∞ 7x3 5x2 = lim x→±∞ 7x 5 = ±∞. Limite de la compos´ ee de deux fonctions : Proposition 2.2. Soient f et g deux fonctions deﬁnies respectivement sur les intervalles I (sauf peut-ˆ etre en a) et J (sauf uploads/Litterature/ s1-seg-analyse-mathematique-chapitre-1.pdf