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Chapitre 4 : Fonctions de variable complexe SALAH-EDDINE CHORFI École Hassania

Chapitre 4 : Fonctions de variable complexe SALAH-EDDINE CHORFI École Hassania des Travaux Publics Département de Mathématiques, Informatiques et Géomatique 2021-2022 SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 1 / 31 Introduction • L ’analyse complexe est la branche de l’analyse mathématique qui étudie les fonctions de la variable complexe. SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 2 / 31 Introduction • L ’analyse complexe est la branche de l’analyse mathématique qui étudie les fonctions de la variable complexe. • C’est un outil puissant qui est très utile dans différentes domaines d’applications : • Mathématiques : théorie de nombres, maths appliquées, ... • Physique : hydrodynamique, mécanique quantique, ... • Ingénierie : mécanique, électrique, ... SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 2 / 31 Notations : Dans la suite, on adopte les notations suivantes : Pour z0 ∈C et r > 0, • D(z0, r) := {z ∈C : |z −z0| < r}. • D(z0, r) := {z ∈C : |z −z0| ≤r}. • C (z0, r) := {z ∈C : |z −z0| = r}. SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 3 / 31 Fonctions de variable complexe Une fonction de variable complexe à valeurs complexes est la donnée d’une fonction f : Ω− →C z 7− →f(z) déﬁnie sur une partie Ω⊂C. Pour un nombre complexe z0 donnée, on dira que f est déﬁnie au voisinage de z0, s’il existe r > 0 tel que f soit déﬁnie en tout point du disque D (z0, r) = {z ∈C : |z −z0| < r} . SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 4 / 31 Fonctions de variable complexe Une fonction de variable complexe à valeurs complexes est la donnée d’une fonction f : Ω− →C z 7− →f(z) déﬁnie sur une partie Ω⊂C. Pour un nombre complexe z0 donnée, on dira que f est déﬁnie au voisinage de z0, s’il existe r > 0 tel que f soit déﬁnie en tout point du disque D (z0, r) = {z ∈C : |z −z0| < r} . Exemple La fonction f(z) = 1 z2 + 1 est déﬁnie sur Ω= C\{−i, i}; en particulier elle est déﬁnie sur le disque D(0, 1), et par suite f est déﬁnie au voisinage de 0. SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 4 / 31 Remarque Une fonction f : C →C peut être considérée comme une fonction de deux variables réelles à valeurs dans R2 ;en effet, c’est la fonction f : R2 →R2 (x, y) 7→(P(x, y), Q(x, y)) avec P(x, y) = Re(f)(x + iy) et Q(x, y) = Im(f)(x + iy). SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 5 / 31 Remarque Une fonction f : C →C peut être considérée comme une fonction de deux variables réelles à valeurs dans R2 ;en effet, c’est la fonction f : R2 →R2 (x, y) 7→(P(x, y), Q(x, y)) avec P(x, y) = Re(f)(x + iy) et Q(x, y) = Im(f)(x + iy). Exemple 1. Si f(z) = ¯ z, alors P(x, y) = x et Q(x, y) = −y. 2.Si f(z) = 1 z , alors P(x, y) = x x2 + y2 et Q(x, y) = − y x2 + y2 . SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 5 / 31 Holomorphie Soient U un ouvert de C, f : U →C et z0 ∈U. Déﬁnition • On dit que f est C-dérivable en z0 si la limite lim h→0 f (z0 + h) −f (z0) h existe dans C, on la note f ′(z0) et l’appelle la dérivée de f en z0. • On dit que f est holomorphe sur U lorsqu’elle est C-dérivable en tout point z0 ∈U. SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 6 / 31 Exemple • f(z) = ¯ z n’est pas holomorphe. • Pour n ∈N∗, la fonction P(z) = zn est holomorphe sur C et on a P ′(z) = nzn−1, pour tout z ∈C. SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 7 / 31 Comme dans le cas de la variable réelle, on démontre : Proprietés 1. Si f est holomorphe, alors f est continue. 2. Si f et g sont deux fonctions holomorphes, alors la somme f + g et le produit fg sont des fonctions holomorphes. On a (f + g)′ = f ′ + g′ et (fg)′ = f ′g + fg′. 3. Si f est holomorphe et ne s’annule pas, alors la fonction 1 f est holomorphe et on a 1 f ′ = −f ′ f 2 . 4. Si f : U1 →C et g : U2 →C sont holomorphes avec f(U1) ⊂U2, alors g ◦f est holomorphe sur U1 et on a (g ◦f)′ = (g′ ◦f) × f ′. SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 8 / 31 Conditions de Cauchy-Riemann Proposition Soit f : z = x + iy 7→f(z) = P(x, y) + iQ(x, y) une fonction complexe déﬁnie sur un ouvert U ⊂C. Pour que f soit holomorphe, il faut et il sufﬁt que les fonctions P et Q soient différentiables et qu’en plus elles satisfont les conditions de Cauchy-Riemann :      ∂P ∂x = ∂Q ∂y , ∂P ∂y = −∂Q ∂x . Dans ce cas, la dérivée est donnée par f ′ (x + iy) = ∂P ∂x (x, y) −i ∂P ∂y (x, y). SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 9 / 31 Exercices Exercice 1 : Soit α ∈R∗. Soit z0 ∈C. Étudier la C-dérivabilité en z0 de la fonction fα déﬁnie par : fα(z) = |z|α. Exercice 2 : Soit f une fonction holomorphe dans un domaine (ouvert connexe) Ωde C. 1. Montrer que si Re(f) est constante sur Ω, alors f est constante. 2. En déduire que si Im(f) est constante sur Ω, alors f est constante. 3. Montrer que si |f| est constant sur Ω, alors f est constate. SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 10 / 31 Notion de chemin Soit U un ouvert de C. Déﬁnition • Un chemin sur U est une application γ : [a, b] →U continue de classe C1 par morceaux. • Un lacet (ou chemin fermé) est un chemin γ tel que γ(a) = γ(b). SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 11 / 31 Intégrale curviligne complexe Déﬁnition Soit U un ouvert de C. Si f : U →C est une fonction continue sur U et γ : [a, b] →U un chemin, alors l’intégrale de f le long de γ est le nombre complexe : Z γ f(z)dz = Z b a f(γ(t))γ′(t)dt. SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 12 / 31 Déﬁnition 1. Un changement de paramètre est une bijection continue s : [a, b] →[c, d] entre deux intervalles compacts de R. 2. On dit que deux chemins γ1 : [a, b] →U et γ2 : [c, d] →U sont : • équivalents : s’il existe un changement de paramètre croissant s : [a, b] →[c, d] tel que γ1(t) = γ2(s(t)) pour tout t ∈[a, b], • anti-équivalents : s’il existe un changement de paramètre décroissant tel que γ1(t) = γ2(s(t)) pour tout t ∈[a, b]. SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 13 / 31 Invariance par changement de paramétrage Proposition Soit γ : [a, b] →C un chemin et φ : [c, d] →[a, b] un changement de paramétrage. On a : Z γ f(z)dz = Z γ◦φ f(z)dz SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 14 / 31 Invariance par changement de paramétrage Proposition Soit γ : [a, b] →C un chemin et φ : [c, d] →[a, b] un changement de paramétrage. On a : Z γ f(z)dz = Z γ◦φ f(z)dz Déﬁnition Soient U un ouvert du plan complexe, Γ un trajet dans U paramétré par un chemin γ : [a, b] →U et f : U →C une application continue. On déﬁnit l’intégrale de f le long de Γ par Z Γ f(z)dz = Z γ f(z)dz. SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 14 / 31 Exemple Calculons l’intégrale de f(z) = 1 z sur le cercle unité orienté C +(0, 1) : Z C +(0,1) 1 z dz = Z 2π 0 1 eit ieitdt = 2πi. SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 15 / 31 Longueur d’un chemin Déﬁnition Soit γ : [a, b] →C un chemin. La longueur de γ est le nombre réel positif : L(γ) = Z b a |γ′(t)| dt. SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 16 / 31 Longueur d’un chemin Déﬁnition Soit γ : [a, b] →C un chemin. La longueur de γ est le nombre réel positif : L(γ) = Z b a |γ′(t)| dt. Exemple La longueur du cercle C (0, r) est L(C (0, r)) = Z 2π 0 rdt = 2πr. SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 16 / 31 Primitive Déﬁnition Soit U un ouvert de C et f : U →C une fonction continue sur U. On dira que f admet une primitive sur U s’il existe une fonction F : U →C holomorphe sur U telle que F ′(z) = f(z) ∀z ∈U. SALAH-EDDINE CHORFI Analyse EHTP 2021-2022 17 / 31 Primitive Déﬁnition Soit uploads/Management/ chapitre-4.pdf