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RALLYE MATHEMATIQUE DE BOURGOGNE 2020 : 38e rallye Avec l’aimable autorisation

RALLYE MATHEMATIQUE DE BOURGOGNE 2020 : 38e rallye Avec l’aimable autorisation de Sébastien Raymond (https://www.flickr.com) Institut de Recherche Sur L'Enseignement des Mathématiques Faculté Sciences Mirande - B.P. 47 870 - 21078 DIJON cedex  03 80 39 52 30 - Télécopie 03 80 39 52 39 e-mail "iremsecr@u-bourgogne.fr" − http://irem.u-bourgogne.fr Malgré la complexité du contexte sanitaire que nous traversons depuis plusieurs mois maintenant et des nombreuses conséquences qui en découlent, le traditionnel « Rallye mathématique » demeure un rendez- vous attendu, un moment pivot qui jalonne l’année scolaire. C’est un évènement qui offre une belle occasion aux lycéennes et aux lycéens de travailler en équipe, dans une approche divertissante et vivante. Ce rallye est le fruit d’un investissement important et constant de la part de nombreux acteurs et actrices dont le succès est à mettre à l’actif des équipes éducatives des lycées. Ce résultat ne serait pas possible sans le soutien de nos différents partenaires institutionnels et privés, toujours présents. Le déroulement des épreuves du rallye, sa pérennité et son ampleur, tiennent aussi à la qualité de son organisation, à laquelle l’Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de l’université de Bourgogne consacre une énergie irremplaçable. Je remercie chaleureusement toutes celles et tous ceux qui ont contribué à cette édition. Ils démontrent que la coopération entre les établissements du secondaire, les services académiques, les collectivités, les entreprises et l’université est un facteur de réussite et de visibilité collective. Au nom de l’université de Bourgogne, je félicite les lycéennes et les lycéens qui ont participé à cette édition du « Rallye mathématique ». Pratiquer cette discipline et apprendre à l’apprécier favorise incontestablement la réussite dans les études. C’est en effet une matière importante mais aussi un support, un complément à d’autres disciplines. Au cœur de la recherche et de l’innovation, les mathématiques nous entourent au quotidien sans que nous n’y prêtions attention. Ce « Rallye mathématique » contribue à donner aux jeunes une image moderne de cette discipline. Souhaitons que cette initiative pourra donner envie à certains d’entre eux de poursuivre leurs études supérieures dans cette voie au sein de notre université. Vincent THOMAS Président de l’université de Bourgogne Chaque année, le rallye mathématique des lycées de Bourgogne fédère toujours autant, si ce n’est davantage, de classes et d’établissements autour de la résolution de problèmes. Le cru 2020, n’a pas déçu par la qualité, l’originalité et l’attractivité de ses énoncés, parfois fantasques mais toujours aussi passionnants. Si le prix Nobel de physique Eugène Wigner évoquait en 1960 « la déraisonnable efficacité des mathématiques », le rallye mathématique prouve « l’efficacité de ces déraisonnables mathématiques » qui mélangent des nains de jardin avec des escargots ou des caméléons ! Tout cela pour le plus grand plaisir de tous les participants et participantes. Les mathématiques ne sont pas seulement un outil servant à accomplir des calculs tous plus compliqués les uns que les autres, c’est aussi une formation à la pensée rationnelle, malheureusement mise à mal en ces derniers temps. C’est dans cette perspective que les jeux de l’esprit, tels que les rallyes mathématiques, trouvent leur place pour donner aux pratiquants des ressorts de motivation pour penser, comprendre, imaginer, chercher ... et parfois trouver. Ils développent auprès des jeunes le goût des sciences et le plaisir de chercher ensemble en mettant à profit les contributions de tous, mêmes modestes. Il faut donc se réjouir de son essor et de sa vitalité auprès des lycéens pour rompre avec l’image d’une discipline trop abstraite et rébarbative. Mais que l’on ne s’y trompe pas, derrière l’apparente futilité de ces énoncés se cache une véritable activité mathématique : c’est à la faculté d’expérimenter, d’observer mais aussi de raisonner qu’il est fait appel chez chacun des concurrents. Faire des mathématiques, c’est comprendre un problème, le transformer, le rendre accessible, imaginer des pistes, construire une solution pour enfin atteindre la preuve qui est le terme de toute quête mathématique. Je remercie, félicite et encourage tous les acteurs de cette action collective. Merci à l’IREM, à ses partenaires et à tous ses relais dans les établissements ; merci et bravo aux concepteurs de sujets ; merci surtout aux professeurs qui réussissent, toujours plus nombreux, à motiver leurs élèves ; merci enfin à tous les organisateurs qui, de près ou de loin, dans les établissements scolaires, concourent à la bonne marche du rallye. Enfin, il faut féliciter les 687 participants répartis en 212 équipes issues de 26 lycées, et se réjouir d’une hausse significative de la participation au rallye depuis plusieurs années. Bravo à tous, filles et garçons, lauréats et simples participants et rendez-vous en 2021 pour la 39eédition du rallye mathématique des lycées de Bourgogne. Francis CORTADO IA-IPR de mathématiques Joies et peines Il n’est pas d’usage dans la préface du compte rendu du Rallye mathématique de Bourgogne d’évoquer des événements tristes, car le Rallye est conçu comme un moment joyeux, dynamique et promoteur de plaisir dans la recherche et la résolution de problèmes. La situation sanitaire très particulière de cette année 2020 a retardé la publication de cette brochure, qui est réalisée à l’automne alors que nous venons d’apprendre la disparition brutale de Michel Lafond, survenue au début du mois de septembre. Michel avait été l’un des fondateurs du Rallye, en 1979, avec entre autres partenaires, Roland Durier, directeur de l’IREM, et Daniel Reisz, professeur au lycée Jacques-Amyot d’Auxerre et qui allait devenir IPR de l’Académie de Dijon. Après une pause entre 1986 et 1989, Michel relançait le Rallye en 1990 avec Robert Ferachoglou. Leur binôme publiera deux fameux ouvrages de récréations mathématiques aux éditions Ellipses1. Figure tutélaire et amicale, Michel continuait à travailler avec le groupe Rallye après son départ à la retraite, retraite qui ne fut jamais oisive pour ce passionné de mathématiques, d’informatique et de jeux. Il avait également tenu la rubrique « Jeux et problèmes » de la Feuille de Vigne, périodique publié par l’IREM jusqu’en 2016 ; cette rubrique faisait la joie de nombre de collègues d’un peu partout et avait valu à Michel une grande estime de la part d’acteurs éminents du monde des jeux mathématiques. Nous sommes particulièrement fiers d’avoir hébergé dans nos colonnes ses rendez-vous réguliers. Michel va nous manquer terriblement. Revenons maintenant aux joies du Rallye. Comme nous l’écrivions plus haut, la situation sanitaire a bouleversé l’organisation de l’IREM depuis mars 2020 et empêché la tenue d’une cérémonie de récompenses, mais l’équipe ne s’est pas avouée battue et vous avez en main le compte-rendu de cette édition. La 38e, que le temps passe vite ! Une bonne preuve du fait que les Rallyes sont même utiles à la recherche mathématique, c’est l’exemple des nombres brésiliens. Un nombre brésilien est un entier naturel n pour lequel il existe une base b (avec b < n – 1) dans laquelle il s’écrit avec des chiffres tous identiques, autrement dit : n = aa...a ̅̅̅̅̅̅̅ b. La dénomination de « nombres brésiliens » a été donnée à ces nombres car ils faisaient l’objet du premier exercice des Olympiades ibéro-américaines de mathématiques en 1994. Eh bien, figurez-vous que 38 est un nombre brésilien2, étonnant, non ? À vous de le prouver ! Frédéric Métin, Directeur de l’IREM. 1 Respectivement 100 friandises mathématiques en 2010 et 100 gourmandises mathématiques en 2010. 2 Il est aussi égal à la somme des carrés des trois premiers nombres premiers. 1. ÉNONCÉS 2020 Exercice 1 : NAINS DE JARDIN Gaston avait 6 nains de jardin disposés selon un motif ayant un axe de symétrie. On lui a volé 2 nains distants de 3 mètres. Où étaient-ils exactement ? Exercice 2 : L’ESCARGOT DE BOURGOGNE On écrit la suite des nombres entiers comme ci-dessous : Quel est le nombre écrit à l'intersection de la 100e ligne et de la 100e colonne ? Exercice 3 : DES SOUS EN POCHE Avec ce que j’ai en poche, je peux m’acheter 10 caramels et 11 sucettes ou 7 caramels et 16 sucettes. Ai-je de quoi m’acheter 8 caramels et 14 sucettes ? Exercice 4 : TACCIDENT Dans une ville, il y a moins de 100 taxis, numérotés de 1 à n. À la suite d’un accident entre deux taxis portant des numéros consécutifs, la moyenne des numéros restants a diminué de 0,24. Quels sont les numéros des taxis accidentés ? Exercice 5 : PLACEMENT HASARDEUX Placer dans chaque case d’un carré 8 × 8 un des entiers 0, 1 ou 2 de sorte que les 16 sommes obtenues en lignes et en colonnes soient toutes différentes. 1 2 9 10 25 26 4 3 8 11 24 --- 5 6 7 12 23 16 15 14 13 22 17 18 19 20 21 1 mètre 1 mètre I Δ (C) Exercice 6 : LE POINT CENTRAL Un logo est représenté par un disque hachuré et un carré de même aire, tangents au point I et ayant un axe de symétrie Δ. Le tout est inscrit dans un cercle (C). Le centre du cercle (C) est-il dans le disque hachuré ou dans le carré uploads/Management/ compte-rendu-rallye-lycee-2020.pdf