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3 Int´ egrales multiples, curvilignes et de surface 3.1 Int´ egrale de Riemann

3 Int´ egrales multiples, curvilignes et de surface 3.1 Int´ egrale de Riemann des fonctions d’une variable Soit f : R Ý Ñ R une fonction d´ eﬁnie sur un intervalle ferm´ e et born´ e (compact) ra, bs. D´ eﬁnition. Une subdivision de ra, bs est une partition de l’intervalle I “ ra, bs en n intervalles Ii “ rai´1, ais (pour i “ 1, ..., n) de longueur δ “ b ´ a n , avec a0 “ a et an “ b: R ‚ a “ a0 ‚ an “ b ‚ a1 ‚ a2 ‚ a3 ‚ a4 ‚ a5 δ ¨ ¨ ¨ On peut identiﬁer la subdivision avec l’ensemble σn “ ! a0, a1, . . . , an | a0 “ a ă a1 ă ¨ ¨ ¨ ă an “ b, ai ´ ai´1 “ δ “ b ´ a n ) . D´ eﬁnition. Soit σn une subdivision ﬁx´ ee de l’intervalle ra, bs. Pour tout choix de n points xi P Ii (i “ 1, ..., n), on appelle somme de Riemann de f associ´ ee ` a la subdivision σn et aux points txiu la somme Rnpf; txiuq :“ n ÿ i“1 fpxiq pai ´ ai´1q o` u chaque terme fpxiq δ repr´ esente l’aire alg´ ebrique du rectangle de base Ii et hau- teur fpxiq. Ici, “alg´ ebrique” signiﬁe avec un signe ˘ qui d´ epend du signe de fpxiq. x f ‚ a ‚ b n´ egatif positif n´ egatif D´ eﬁnition. On dit que la fonction f : ra, bs Ý Ñ R est int´ egrable sur ra, bs selon Riemann si, en faisant varier la subdivision σn de ra, bs et les points xi P Ii, il existe la limite lim nÑ8 Rnpf; txiuq, elle est ﬁnie, et elle ne d´ epend pas du choix des points xi P Ii. . Dans ce cas, on appelle int´ egrale de Riemann de f sur ra, bs cette limite: ż b a fpxq dx :“ lim nÑ8 Rnpf; txiuq. On pose aussi, pour a ă b: ż a b fpxq dx :“ ´ ż b a fpxq dx. Proposition. [Signiﬁcation g´ eom´ etrique de l’int´ egrale simple.] Soit f une fonction Riemann- int´ egrable sur ra, bs. Alors: ż b a fpxq dx “ aire “alg´ ebrique” sous le graphe de f. ż b a |fpxq| dx “ aire sous le graphe de f. x f n´ egatif positif n´ egatif |f| f “ |f| |f| Preuve. ´ Evident, d’apr` es la d´ eﬁnition. l 28 Remarque. La condition que la limite lim nÑ8 Rnpf; txiuq soit ind´ ependente du choix des points xi P Ii est essentielle pour obtenir une notion d’int´ egrale qui donne l’aire sous le graphe de f. Par exemple, la fonction de Dirichlet fpxq “ $ & % 1 si x P Q 0 si x P RzQ a un graphe compl` etement discontinu, qui alterne des valeurs 0 et 1: on ne veut pas que son int´ egrale sur r0, 1s soit d´ eﬁni et c’est ce qu’on obtient avec cette condition. En eﬀet, pour tout n ﬁx´ e, la subdivision σn de r0, 1s est σn “ " 0 ă 1 n ă 2 n ă ¨ ¨ ¨ ă i n ă ¨ ¨ ¨ n ´ 1 n ă 1 * , et on a le choix des points xi P Ii “ „i ´ 1 n , i n  , pour tout i “ 1, 2, ..., n. Si on choisit xi “ i n P Q, on a fpxiq “ 1, donc Rnpf; txiuq “ n ÿ i“1 fpxiq ˆ i n ´ i ´ 1 n ˙ “ n ÿ i“1 1 n “ n n “ 1, et lim nÑ8 Rnpf; txiuq “ 1. Si on choisit yi “ i ´ a 1{2 n P RzQ, qui est bien dans l’intervalle Ii car i ´ 1 ă i ´ a 1{2 ă i, on a fpyiq “ 0, donc Rnpf; tyiuq “ n ÿ i“1 fpyiq ˆ i n ´ i ´ 1 n ˙ “ n ÿ i“1 0 “ 0, et lim nÑ8 Rnpf; tyiuq “ 0. En conclusion, la fonction de Dirichlet n’est donc pas int´ egrable selon Riemann. Proposition. [Propri´ et´ es de l’int´ egrale de Riemann.] 1. Si fpxq “ 1 pour tout x P ra, bs, on a ż b a dx “ b ´ a (longueur de ra, bs). Si fpxq “ 0 pour tout x P ra, bs, on a ż b a 0 dx “ 0. 2. Si f et g sont int´ egrables sur ra, bs, alors λ f ` µ g l’est aussi, pour tout λ, µ P R, et on a ż b a pλ fpxq ` µ gpxqq dx “ λ ż b a fpxq dx ` µ ż b a gpxq dx. 3. Si f et g sont int´ egrables et fpxq ď gpxq pour tout x P ra, bs, alors on a ż b a fpxq dx ď ż b a gpxq dx. 29 4. Si f est int´ egrable sur ra, bs, on a ˇ ˇ ˇ ˇ ż b a fpxq dx ˇ ˇ ˇ ˇ ď ż b a |fpxq| dx. 5. Si a ă b ă c et f est int´ egrable sur ra, cs, on a ż c a fpxq dx “ ż b a fpxq dx ` ż c b fpxq dx. Preuve. ´ Evident, d’apr` es la d´ eﬁnition. l Existence de l’int´ egrale de Riemann. Proposition. [Condition n´ ec´ essaire pour l’int´ egrabilit´ e.] Si f est int´ egrable selon Riemann alors f est born´ ee. Preuve. Par l’absurde, supposons que f ne soit pas born´ ee sur ra, bs. Alors pour tout M ą 0 ﬁx´ e, il existe un x P ra, bs tel que | fpxq | ą M. Supposons que x P raj´1, ajs, dans n’importe quelle subdivision de ra, bs. Choisissons un point xi dans chaque autre intervalle rai´1, ais, avec i ‰ j. Puisque f est int´ egrable, pour tout choix de xj P raj´1, ajs, la somme de Riemann Rnpf, txkuq “ n ÿ i“1 i‰j fpxiq pai ´ ai´1q ` fpxjq paj ´ aj´1q converge vers ż b a fpxq dx pour n Ñ 8. Or, pour le M ą 0 ﬁx´ e au d´ ebut, on peut trouver xj tel que |fpxjq| ě ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ řn i“1 i‰j fpxiq pai ´ ai´1q ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ` M aj ´ aj´1 . On a alors: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ n ÿ i“1 i‰j fpxiq pai ´ ai´1q ` fpxjq paj ´ aj´1q ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ě |fpxjq| paj ´ aj´1q ´ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ n ÿ i“1 i‰j fpxiq pai ´ ai´1q ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ě M, c’est-` a-dire que la somme de Riemann choisie n’est pas born´ ee, et donc ne peut converger pour n Ñ 8. l Remarque. La condition “f born´ ee” est n´ ec´ essaire mais elle n’est pas suﬃsante. Par exemple, la fonction de Dirichlet est born´ ee (entre 0 et 1) mais elle n’est pas int´ egrable sur r0, 1s. Cherchons des conditions suﬃsantes pour l’int´ egrabilit´ e. Soit donc f : ra, bs Ý Ñ R une fonction born´ ee. 30 D´ eﬁnition. Pour une subdivision σn “ ta0 ă a1 ă ¨ ¨ ¨ ă anu ﬁx´ ee de ra, bs, on appelle sommes de Darboux les sommes snpfq :“ n ÿ i“1 mi pai ´ ai´1q, o` u mi :“ inf rai´1,ais f, Snpfq :“ n ÿ i“1 Mi pai ´ ai´1q, o` u Mi :“ sup rai´1,ais f. Vu que pour tout xi P rai´1, ais on a mi ď fpxiq ď Mi, il est ´ evident qu’on a snpfq ď Rnpfq ď Snpfq. Th´ eor` eme. [Condition n´ ec´ essaire et suﬃsante pour l’int´ egrabilit´ e.] Une fonction f est int´ egrable sur ra, bs selon Riemann si et seulement si lim nÑ8 pSnpfq ´ snpfqq “ 0. Dans ce cas, on a ´ evidemment ż b a fpxq dx “ lim nÑ8 Snpfq “ lim nÑ8 snpfq. Preuve. ù ñ Supposons qu’il existe la limite lim nÑ8 Rnpfq “ ż b a fpxq dx “ I. Alors, pour tout ε ą 0, il existe N P N tel que | Rnpfq ´ I | ă ε{4 pour tout n ě N. Dans la somme de Riemann Rnpfq on peut choisir les points xi comme on veut: choisissons des xi tels que | Mi ´ fpxiq| ă ε{4 b ´ a pour construire la somme R1 npfq, et choisissons des yi tels que | mi ´ fpyiq| ă ε{4 b ´ a pour construire la somme R2 npfq. On a alors | Snpfq ´ R1 npfq | ď n ÿ i“1 uploads/Management/ cours-geometrie-ch3.pdf