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1 CHAPITRE I : INDICATEURS DE TENDANCE CENTRALE ET INDICE Objectif terminal : A

1 CHAPITRE I : INDICATEURS DE TENDANCE CENTRALE ET INDICE Objectif terminal : Au terme de ce module, l’étudiant de la première année GACO de l’IUSO doit être capable de traiter quantitativement l’information. INTRODUCTION La statistique est l’étude de la collecte de données, leur analyse, leur traitement, l’interprétation des résultats et leur présentation aﬁn de rendre les données compréhensibles par tous. C’est à la fois une science, une méthode et un ensemble de techniques. L’analyse des données est utilisée pour d’écrire les phénomènes étudiés, faire des prévisions et prendre des décisions à leur sujet. En cela, la statistique est un outil essentiel pour la compréhension et la gestion des phénomènes complexes. Dans ce module nous nous intéressons à la statistique descriptive. SECTION I : INDICATEURS DE TENDANCE CENTRALE A- Caractères quantitatifs discrète Une variable quantitative est dite discrète si l’étendue des valeurs possibles est dénombrable, c’est à-dire si les valeurs peuvent être énumérées sous la forme d’une liste de chiffres (a1, a2,… an) ou plus souvent d’entiers naturels (0, 1,2…). 1. Exemple : Considérons l'exemple suivant : on a interrogé 20 familles d'un immeuble sur leur nombre d'enfants, les résultats sont indiqués dans le tableau suivant : Nombre d’enfants 0 1 2 3 4 Total Nombre de familles 3 5 9 2 1 20 Les 20 familles constituent la population étudiée. Chaque famille représente un individu. Le nombre d'enfants est le caractère étudié. Les chiffres 0, 1, 2, 3 et 4 s'appellent les modalités, ce sont les différentes valeurs prises par le caractère. Puisque les modalités sont numériques, on dit que le caractère est quantitatif. Comme les modalités sont en nombre fini (il y a 5 modalités différentes), on dit qu'on a affaire à un caractère discret. 2 Nous allons étudier un certain nombre de notions et de calculs concernant les caractères quantitatifs discrets : Les valeurs 3, 5, 9, 2 et 1 s'appellent les effectifs, c'est à dire le nombre d'individus dans la population possédant la modalité considérée du caractère étudié. La donnée des modalités et des effectifs s'appelle une série statistique simple (qui, en général, est donnée, comme dans l'exemple sous forme d'un tableau dit tableau à simple entrée). 20 représente ce qu'on appelle l'effectif total Le rapport entre l'effectif et l'effectif total s'appelle la fréquence : 3/20, 5/20, 9/20, 2/20, 1/20. On exprime en général les fréquences en pourcentages : 15% , 25%, 45%, 10%, 5%. La somme des fréquences vaut 1 (ou 100%). Fréquence 3/20 5/20 9/20 2/20 1/20 Pourcentage 15% 25% 45% 10% 5% 2. Caractéristiques de position ou tendances centrale 2.1 Le mode La valeur la plus fréquente d'une série statistique — C'est la (ou les) valeur(s) du caractère dont l’effectif est le plus grand. Exemple : le mode de la série (4, 2, 4, 3, 2,2) est 2 car il apparaît trois fois. 2 est la valeur qui a le plus grand nombre d'occurrences. Le mode pour un caractère discret est la valeur du caractère qui correspond à l'effectif le plus grand. Pour un caractère continu, on parle de classe modale. Le mode est pertinent lorsque dans la série, certaines valeurs sont répétées plusieurs fois. Il peut y avoir aucun, un seul ou plusieurs modes. Exemple 1 Madame NKI a interrogé ses élèves sur le nombre de leurs frères et sœurs. Calculer le mode du nombre de frères et sœurs : 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 5 3 On détermine la valeur la plus fréquente : 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 5 Le mode est de 1 frère et sœur. Exemple 2 Madame SINGA a interrogé ses élèves sur le nombre de leurs frères et sœurs. Calculer le mode du nombre de frères et sœurs : 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 4 On détermine la valeur la plus fréquente : 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 4 Cette série a deux modes. Les deux modes sont 1 et 2 frères et sœurs. 2.2 La médiane La valeur centrale d'une série statistique dont les valeurs observées ont été rangées dans l'ordre croissant, est la valeur qui partage la population étudiée en deux sous-ensembles de même effectif (si le nombre d'observations n est pair, la médiane est la demi-somme des termes de rang n et n + 1). Exemple : La médiane de la série : 4, 1, et 7 est 4 car, lorsqu'on ordonne les valeurs de la série dans l'ordre croissant (1, 4, 7), 4 est la valeur qui divise la série en deux moitiés égales. Si la série est pair de valeurs, on a donc 2 valeurs centrales. La médiane est alors la moyenne de ces deux valeurs. 10, 20, 40, 50 Médiane = La médiane est 30. 2.3. Les moyennes La valeur « moyenne » est égale au quotient de la somme de toutes les valeurs de la série par l’effectif total. 4 Exemple: La moyenne de la série 4, 1, et 7 est (4+1+7)/3 = 12/3 = 4. C'est le calcul habituel de la moyenne; en fait, ce n'est pas la seule moyenne, on l'appelle la moyenne arithmétique. Quand on dira "moyenne" sans préciser, il s'agira toujours de celle-ci. 3. Les caractéristiques de dispersion 3.1. Ecart-type La caractéristique de dispersion la plus usuelle est en effet l’écart-type. Puisque la moyenne arithmétique des écarts à la moyenne est nulle, on a recours à la moyenne quadratique de ces écarts. On définit - la variance d’une série : c’est une moyenne arithmétique des carrés des écarts à la moyenne : 5 - L’écart type d’une série : c’est la moyenne quadratique des écarts à la moyenne, autrement dit, c’est la racine carrée de la variance. B- Caractères quantitatifs continus 1. Définition Une variable quantitative continue peut prendre n’importe quelles valeurs à l’intérieur d’un certain intervalle de variation qui lui est associé. Les observations obtenues à partir d’une variable continue sont donc espacées. Leur organisation sous la forme d’un tableau statistique consiste à délimiter au préalable l’intervalle de variation. Considérons l'exemple suivant : on s'intéresse aux salaires mensuels dans une entreprise de 200 personnes, les résultats sont consignés dans le tableau suivant. Moins de 400F de 400 à 600F de 600 à 1000F de 1000 à 2000F de 2000 à 5000F Effectifs des classes 40 100 50 8 2 20 Fréquences 20%=40/200 50% 25% 4% 1% 100% 6 Le caractère étudié, c'est ici le salaire mensuel. La population est composée de 200 individus. Le caractère a été regroupé en intervalles (qu'on appellera des classes) car il aurait été impossible de faire un tableau à simple entrée du type de celui qu'on a vu pour les caractères discrets du fait du trop grand nombre de salaires possibles. Quand un caractère présente un nombre infini (ou très grand) de modalités, on dit qu'on a affaire à un caractère continu. 0, 400, 600,1000, 2000, 5000 sont appelées les extrémités de classes. On remarque que toutes les classes n'ont pas forcément la même "largeur" (on parlera d'amplitude) : la première a une amplitude de 400, la deuxième de 200, les autres de 400,1000, 3000. Le centre d'une classe sera le "milieu" de l'intervalle, la demi-somme des extrémités. Ici, les centres des classes vaudront : 2000, 5000, 8000, 15000, 35000. 2. Mode Si la variable est continue, ses modalités sont des classes de valeurs. Le mode de distribution ne pourra pas être une modalité représentant une valeur précise de cette variable mais sera une classe de valeurs. On appelle alors classe modale la classe constituant le mode de la distribution. Exemple : soit la distribution statistique d'une population de 30 élèves d'une classe selon leur taille : 7 L'effectif ni ou la fréquence fi les plus élevés montrent que le mode est ici la classe [1,70- 1,80[. 3. Médiane Il n'y a, pour le calcul de la médiane, aucune différence selon que les classes de la variable sont d'amplitudes constantes ou variables. La variable étant continue, il devient possible, contrairement au cas précédent, d'évaluer précisément la valeur de la médiane. Le calcul de la médiane se fait alors en deux temps : • détermination de la classe médiane : la classe médiane est la classe de valeurs de la variable contenant la médiane. Elle est déterminée de la même manière que la médiane dans le cas d'une variable discrète, à partir des effectifs et de fréquences cumulées. On a : N = 30, et N / 2 = 15. Dans cette population, 8 individus prennent une valeur inférieure à 1,60 m et 17 individus une valeur de la variable inférieure à 1,70 m. La médiane est donc comprise entre 1,60 m et 1,70 m. La classe [1,60-1,70[est la médiane de la distribution. • détermination de la médiane : cette seconde étape cherche à découvrir la valeur précise de la médiane à l'intérieur de la classe médiane. La méthode généralement utilisée pour ce faire est celle de l'interpolation linéaire ; c'est mathématiquement une application uploads/Management/ cours-traitement-quantitatif-de-l-x27-infoguy22.pdf