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INF 457 : TECHNIQUES DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE PROGRAMME 1. INTRODUCTION AU M

INF 457 : TECHNIQUES DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE PROGRAMME 1. INTRODUCTION AU MODÈLE PROBABILISTE 2. CHAÎNE DE MARKOV 3. MODÈLE DE SYSTÈME D’ATTENTE 4. PROBLÈME DE DÉFAILLANCE D’ÉQUIPEMENTS OBJECTIFS : L’objectif de ce cours est de donner les bases de la recherche opérationnelle : La Méthodologie , les problèmes et les modèles typiques , les principales techniques de résolution des problèmes à un évènement aléatoire. BIBLIOGRAPHIE 1. Alain Martel, <<Techniques et Applications de la recherche opérationnelle>>, 2eme édition , Gaetan Morin , 1979. 2. G.B. Dantzig, <<Applications et prolongements de la programmation linéaire>>, Dunod , 1966 3. J.F/ Hêche, Th. Liebling, D. De Werra, <<Recherche Opérationnelle pour Ingénieurs>> , Presses Polytechniques et Universitaires Romandes , 2003 4. R.Faure, B. Lemaire, Ch. Picouleau , <<Précis de recherche opérationnelle : Méthodes et Exercices>>, Dunod , 2004 5. J.-C. Moisdon, M. Nakhla, <<Recherche opérationnelle : Méthodes d’optimisation en gestion>>, Mines ParisTech, Transvalor Press des Mines , 2010. 6. etc. INTRODUCTION Ensemble de techniques qui permette nt de résoudre de manière scientifique des problèmes liés à la gestion . La recherche Opérationnelle(R O) est la discipline des mathématiques appliquées qui traite des questions d’utilisation optimale des ressources dans l’industrie et dans les organisations du secteur public. Dans le cadre de ce cours, nous retiendrons que la RO est une collection de techniques issue du champ de mathématiques appliqués, destinées à représenter des situations où plusieurs acteurs ont un certain nombre de choix à effe ctuer, et à guider ces acteurs dans leurs décisions de façon à ce qu’ils satisfassent au mieux un ou plusieurs critères , tout en respectant un ensemble de contraintes prédéfinies. Le champ d’application de la RO est assez vaste , notamment il peut être lié: à l’économie , à la finance , au marketing , à l’informatique ,à l’IA , à l’épidémiologie , à la planification d’entreprise, etc … Très récemment, la RO à été utilisé pour la gestion des systèmes de santé et d’éducation , pour la résolution des problème environnementaux et dans d’autres domaines d’intérêts publique. Globalement , la RO s’atta que à des problèmes de gestion et décision des organisations économiques et à la prise en compte du combinatoire et de l’incertitude. Exemple d’Applications 1) Planifier la tourné d’un véhicule de livraison qui doit passer par des points fixés à l’avance puis revenir a son point de départ en cherchant à minimiser la distance parcourue. On appelle ce problème Le problème du voyageur de commerce. 2) Remplir un conteneur avec des objets de tailles et de valeurs variables. Si le conteneur a une capacité finie , on va chercher à maximiser la valeur placée dans le conteneur. On appelle ce problème Le problème de sac à dos. 3) Ordonnancer les taches sur un chantier pour chaque tâche T on connaît sa durée. De plus on connaît les autres taches dont T dépend directement, et combien de temps avant ou après le début de chacune d’elles T doit démarrer. On désire minimiser la durée totale du chantier. On appelle ce problème Le problème d’ordonnancement. 4) Fixer un nombre de guichet pour servir les clients dans une banque. Ce problème relève d’un phénomène d’atte nte. Chacun de ces problème bien entendu être compliqué a souhait au point d’en faire les sujets de thèses. CHAP I : INTRODUCTION AUX MODÈLES PROBABILISTE 1.1.INTRODUCTION De nombreuses techniques de RO sont appropriées pour l’aide à la prise de décision en univers déterminé. Ces techniques permette nt : 1. D’identifier explicitement ou implicitement les solutions réalisables d’un problème décisionnel lié par les contraintes G(X,A) = 0. 2. D’évaluer l’effi cacité de certaines solutions réalisables promette uses en regard d’un OPO donné Z=f(X,C). 3. De choisir une solution optimale. Dans certains cas , le vecteur X des variables décisionnelles peut prendre une infinité de valeurs; et dans d’autres cas, il correspond a un nombre fini ( possible très grand) de solutions réalisables. Dans tous les cas , toute fois la valeur des coeffi cients du problème c’est a dire des éléments de C et A est connu avec certitude. Lorsque ces valeurs ne sont pas connues avec certitudes , l’identification et l’évaluation des solutions réalisables du problème dévient beaucoup plus diffi cile. Les techniques probabilistes peuvent être utilisées pour résoudre ce type de problème relevant de l’univers incertain. 1.2. Prise de Décision en Univers Indéterminé Les problèmes décisionnels peuvent être classé selon la nature de l’information qui est à la disposition du décideur. Lorsque l’information disponible n’est pas parfaite il est possible que le gestionnaire ait une connaissance partielle des évènement qui influence le système où le problème se pose et il est possible qu’il les ignore complètement. Dans ce dernier cas , si son ignorance est due entièrement au fait qu’il ne connaît pas les actions prises par ses compétiteurs , alors on est en présence de ce qu’on appelle un problème décisionnel en univers hostile. Ces problèmes relèvent de la théorie des Jeux. Par contre si sont ignorance est complète mais que les résultats possibles dépendent seulement de l’état de la nature, alors on est en présence de ce qu’on appelle un problème décisionnel en univers incertain. Enfin si le gestionnaire possède une connaissance partielle des évènements possibles et qu’il peut l’examiner sous la forme d’une distribution de probabilité, on est en présence de ce qu’on appelle un problème décisionnel en univers risqué. Comme exemple ici le remboursement d’un crédit bancaire. Cette information partielle peut être obtenu objectivement à partir d’observations antérieures des mêmes phénomènes ou bien peut être obtenu subjectivement. C’est l’étude de ce dernier type de problème décisionnel auquel la suite de ce cours est consacrée. 1.3.O bjectifs en univers risqué On a un problème décisionnel en univers risqué lorsqu’on ne connaît pas avec certitude l’état de la nature auquel on a à faire mais qu’on peut associer des probabilités aux états possibles de la nature. Ces probabilités aux états possibles de la nature. Ces probabilités aux éléments possibles de la nature. Ces probabilités peuvent être exprimées objectivement à partir de phénomènes pertinents. Elles peuvent aussi être une expérience subjective de l’expériance du gestionnaire et de ses connaissances de l’environnement. Enfin elles peuvent être obtenues en combinant les 2 approches précédentes. Les problèmes décisionnels en univers risqués peuvent donc être résolu à l’aide des modèles ayant la forme générale Min(Max) z=f (x ,c) sujet à g(x , A)=0 où x est un vecteur de variables décisionnelles et où l’un ou plusieurs des éléments des matrices C et A sont des matrices aléatoires caractérisées par des lois de probabilités connues. Lorsque tous les éléments de C et A sont connues, la solution optimale de 1.1 sont obtenues en optimisant la fonction objectif ( ou économique ) Z dans l’espace des solutions réalisables. Cependant, lorsque C et A sont aléatoire, on ne peut pas optimiser Z directement te il faut choisir un critère d’optimisation approprié. 1.3.1. Critère d’optimisation En univers risqué, plusieurs type d’objectif raisonnable peuvent être considéré. Les principaux critères d’optimisation peuvent être 1. L’optimisation de l’Espérance mathématique, de la fonction objectif soit Min(Max) E(z) où E dénote l’espérance mathématique. Ce critère est le plus connu. On l’appelle le critère de Bayes. 2. La Minimisation de la variance de la fonction objectif, soit MinVar(z) Dans certains problèmes pratique comme le choix d’un porte-feuille d’investissement par exemple, il est préférable d’obtenir une certaine stabilité des corps ou des profits. Ce critère est donc approprié. 3. La Maximisation de la probabilité d’atte ndre une certaine aspiration, soit Max Pk(z) Dans ce cas, on désire maximiser la probabilité que la valeur de la fonction objectif Z excède un niveau prédéterminé d’aspiration. Ce genre de critère intéresse le gestionnaire conservateur qui décide d’obtenir une solution réalisable satisfaisante de valeur k. 4. L’optimisation de la fonction objectif obtenue pour l’état de la Nature le plus vrai- semblable. Cette approche consiste à transformer le problème 1.1 en un problème décisionnel en univers déterminé. On peut y arriver en remplaçant les coeffi cients aléatoires dans C et A par leur valeur les plus probables. Ce critère est intéressant car il simplifie le problème de manière considérable. Toute fois il met de ce coté beaucoup d’informations importantes sur les états possibles de la nature et il peut conduire à décision douteuses. 1.3.2. L’espérance mathématique d’une fonction aléatoire Le concept d’espérance mathématique joue un rôle primordiale dans les chapitres qui vont suivre. Soit Z une var discrète, obéissante à la loi de probabilité p(Z=z) ; z = 0,1, . . . ; L’espérance mathématique de Z est définie par : Z=E(z)=∑ z z p(Z=z) Si Z est une var continue avec une fonction de densité f(Z) alors on a : Z=E(z)=∫ −∞ +∞ zf (z)dz si h(Z) est une fonction quelconque de Z alors E[h(Z)]={ ∑ z h(z)P(Z=z) si z est discontinu ∫ −∞ +∞ h(z)f (z)dz si z est continu Si a est une constante E(a)=a E(aZ)=a⋅E(Z) E(Z+a)=E(Z)+a Si Z=(Z1,Z2,..., Zn) est un vecteur de v.a.r discrète avec une fonction de masse multidimensionnelle P(Z=z) et si h(Z) est une fonction quelconque uploads/Management/ methodes-de-ro-avance-es-by-thejoker.pdf