Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Résolution temps-fr

Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle Olivier Rioul Dept. Comelec Télécom ParisTech olivier.rioul@telecom-paristech.fr perso.telecom-paristech.fr/rioul/ Formation LIESSE Fourier, temps et fréquence 2018 Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Plan 1 Notion de fréquence 2 Notion de résolution (temps et fréquence) 3 Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? 4 Transformée de Fourier Court-Terme 5 Transformée en Ondelettes 6 Transformations bilinéaires 7 Boîtes à outils Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Transformée de Fourier (T.F.) Pour des signaux 1D : Description temporelle : Signal vu comme une fonction x(t) de la variable temps t ∈R Description fréquentielle : Transformée de Fourier X(f) = Z R x(t)e−2jπft dt fonction de la variable (duale) de fréquence f ∈R Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Valeurs complexes • Noter que X(f) ∈C, même pour un signal réel • La T.F. d’un signal réel est à symétrie hermitienne : X(−f) = X∗(f) • On peut donc se limiter aux fréquences ≥0 pour un x(t) à valeurs réelles • Signal analytique : z(t) ∈C tel que Z(f) = 2X+(f) • Il est commode de supposer dans la suite que x(t) est déjà analytique : x(t) = z(t). Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie En mathématiques... Attention L’intégrale Z R x(t)e−2jπft dt n’a souvent « aucun sens ». • Signaux L1 « intégrables » : R |x(t)| dt < ∞. La T.F. X(f) est continue et bornée. • Signaux L2 « de carré intégrable » (d’énergie finie) : ∥x∥2 = Z |x(t)|2 dt < ∞ La T.F. X(f) est elle-même L2 (cf. Parseval), passage à la limite dans L2 de l’intégrale tronquée. Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie En mathématiques... Cadre général Signaux S′ (distribution tempérée) : x(t) = O(tα). La T.F. X(f) est elle même tempérée. Exemple : impulsion de Dirac Z e2jπft dt = δ(f) Z e2jπft d f = δ(t) Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Inversion Reconstruction du signal x(t) = Z R X(f)e2jπft d f Démonstration. Z Z x(τ)e−2jπfτdτ  e2jπft d f = Z x(τ) Z e2jπf(t−τ)d f  dτ = Z x(τ)δ(t −τ)dτ = x(t) • Les TF directe et inverse ont des formes similaires (et donc des propriétés similaires). • « Dualité temps-fréquence » : t ⇐ ⇒f Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Translation/Modulation Translation T.F. → ←Modulation x(t)e2jπf0t T.F. → ←X(f −f0) x(t −t0) T.F. → ←X(f)e−2jπft0 Démonstration. X(f) = Z R x(t −t0)e−2jπf(t+t0) dt X(f −f0) = Z R x(t)e−2jπ(f−f0)t dt Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Impulsion/Onde pure Impulsion (Dirac) T.F. → ←Onde pure (sinusoïde) e2jπf0t T.F. → ←δ(f −f0) δ(t −t0) T.F. → ←e−2jπft0 Démonstration. Par translation/modulation à partir de Z e−2jπft dt = δ(f) et de la formule duale. Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Convolution Convolution T.F. → ←Produit Z x(u)y(t −u)du T.F. → ←X(f)Y (f) Démonstration. Z Z x(u)y(t −u)du  e−2jπftdt = Z x(u)e−2jπfu Z y(t −u)e−2jπf(t−u)dtdu = X(f)Y (f) Translation : convolution par δ(t −t0) Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Dérivation Dérivation T.F. → ←Produit par 2jπf x′(t) T.F. → ←2jπfX(f) Démonstration. Intégration par parties : Z x′(t)e−2jπft dt = −(−2jπf) Z x(t)e−2jπft dt • Dérivation : convolution par δ′ • Dualité régularité/décroissance à l’∞: • Th. de Bernstein : bande limitée = ⇒toutes dérivées bornées • Irrégularité = ⇒composantes de fréquences élevées. Exemples : rectangle et sinus cardinal, triangle et (sinus cardinal)2 Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Dilatation/Contraction Dilatation T.F. → ←Contraction La transformée de Fourier transforme dilatation en contraction et vice versa : 1 √ax  t a  T.F. → ←√aX(af) • Paramètre a > 0 • En temps : dilatation (a > 1) ou contraction (a < 1) Démonstration. Changement de variable : 1 √a Z x  t a  e−2jπft dt = a √a Z x(t)e−2jπaft dt Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Conservation de l’énergie Relation de Parseval-Plancherel (dans L2) Z |x(t)|2 dt = Z |X(f)|2 d f Démonstration. Z X(f)X∗(f) d f = Z Z Z x(t)x∗(u)e2jπf(u−t)d f dt du = Z Z x(t)x∗(u)δ(t −u) dt du = Z x(t)x∗(t)dt La transformée de Fourier conserve l’énergie (isométrie). • |x(t)|2 : densité temporelle d’énergie (puissance instantanée) • |X(f)|2 : densité fréquentielle (spectrale) d’énergie (dsp) Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Produit scalaire temps ou fréquence Généralisation : Relation de Parseval Z x(t)y∗(t) dt = Z X(f)Y ∗(f) d f Démonstration. Similaire au cas de la norme (énergie ∥x∥2 =< x|x >). N.B. Le produit scalaire découle de la norme : 4 < x|y >= ∥x + y∥2 −∥x −y∥2 + j∥x + jy∥2 −j∥x −jy∥2 Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Temps discret Pour un signal à temps discret xn = x(nT) : • transformée de Fourier X(f) = X n xne−2jπnfT • fréquence périodique (de période 1/T) • reconstruction (série de Fourier) : xn = T Z <1/T > X(f)e2jπnfT d f • énergie (Parseval) : X n |xn|2 = T Z <1/T > |X(f)|2d f Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Temps et fréquence discrets Pour un signal à durée limitée x0, x1, . . . , xN−1 : • transformée de Fourier discrète Xk = N−1 X n=0 xne−2jπnk/N • algorithmes rapides (FFT de toutes sortes) • temps et fréquence périodiques (de longueur N) • reconstruction : xn = 1 N N−1 X k=0 Xke2jπnk/N • énergie (Parseval) : N−1 X n=0 |xn|2 = 1 N N−1 X k=0 |Xk|2 Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Dans un corps fini Pour un signal q-aire x0, x1, . . . , xN−1 ∈Fq (corps fini à q éléments) • transformée de Fourier discrète dans un corps fini : Xk = N−1 X n=0 xnαnk • α est d’ordre N (αN = 1 implique N|qm −1) et Xk ∈Fqm (sur-corps localisateur) • reconstruction : xn = N −1 N−1 X k=0 Xkαnk • utile en algèbre (codes correcteurs d’erreurs, etc) • généralisation : indicage sur un groupe de caractères {χ} Analyse Temps-Fréquence et Temps-Echelle O. Rioul Fréquence Transformée de Fourier Propriétés de la TF Conservation de l’énergie Discrétisations Résolution temps-fréquence Pourquoi l’analyse temps-fréquence ? T.F. Court Terme Ondelettes Transformations bilinéaires Boîtes à outils Bibliographie Autres discrétisations Note • Des discrétisations similaires sont possibles pour tout ce qui va suivre (analyse temps-fréquence, transformées bilinéaires, etc.) • c’est indispensable pour l’implantation (toolboxes) • ce n’est pas trivial uploads/Management/ or-slides.pdf

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• Publié le Apv 03, 2022
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