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Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des tr

Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Analyse de la variance à un facteur Frédéric Bertrand1 & Myriam Maumy1 1IRMA, Université de Strasbourg Strasbourg, France DUS2 20-06-2011 Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Sommaire 1 Modélisation statistique Exemple : Les carburateurs Déﬁnitions et notations Conditions fondamentales Modèle statistique Test de comparaison des moyennes 2 Tableau de l’analyse de la variance Deux propriétés fondamentales Le résultat fondamental de l’ANOVA Test de l’ANOVA Tableau de l’ANOVA Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Sommaire 3 Vériﬁcation des trois conditions Indépendance Normalité Homogénéité 4 Comparaisons multiples Méthode de Bonferroni Méthode des contrastes linéaires Méthodes basées sur la statistique de rang studentisée Méthode de Newman Keuls Méthode de Tukey Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Sommaire 5 Un exemple entièrement traité Le contexte Les données Le script de R Les résultats Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Références Ce cours s’appuie essentiellement sur 1 le livre David C. Howell, Méthodes statistiques en sciences humaines traduit de la sixième édition américaine aux éditions de Boeck, 2008. 2 le livre de Pierre Dagnelie, Statistique théorique et appliquée, Tome 2, aux éditions de Boeck, 1998. 3 le livre de Hardeo Sahai et Mohammed I. Ageel, The Analysis of Variance : Fixed, Random and Mixed Models, aux éditions Birkhäuser, 2000. Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Exemple : Les carburateurs Déﬁnitions et notations Conditions fondamentales Modèle statistique Test de comparaison des moyennes Sommaire 1 Modélisation statistique Exemple : Les carburateurs Déﬁnitions et notations Conditions fondamentales Modèle statistique Test de comparaison des moyennes Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Exemple : Les carburateurs Déﬁnitions et notations Conditions fondamentales Modèle statistique Test de comparaison des moyennes Objectif Dans ce chapitre, nous allons étudier un test statistique (nous renvoyons à un cours sur les tests pour toutes les déﬁnitions sur ce sujet) permettant de comparer les moyennes de plusieurs variables aléatoires indépendantes gaussiennes de même variance. L ’analyse de la variance est l’une des procédures les plus utilisées dans les applications de la statistique ainsi que dans les méthodes d’analyse de données. Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Exemple : Les carburateurs Déﬁnitions et notations Conditions fondamentales Modèle statistique Test de comparaison des moyennes Exemple : D’après le livre de Georges Parreins. On veut tester 4 types de carburateurs. Pour chaque type, on dispose de 6 pièces que l’on monte successivement en parallèle sur 4 voitures que l’on suppose avoir des caractéristiques parfaitement identiques. Le tableau indique pour chaque essai la valeur d’un paramètre lié à la consommation : Essai/Carburateur A1 A2 A3 A4 1 21 23 18 20 2 24 23 19 21 3 25 32 28 25 4 20 23 19 15 5 34 32 24 29 6 17 15 14 9 Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Exemple : Les carburateurs Déﬁnitions et notations Conditions fondamentales Modèle statistique Test de comparaison des moyennes Remarque Cette écriture du tableau est dite « désempilée ». Nous pouvons l’écrire sous forme standard (« empilée »), c’est-à-dire avec deux colonnes, une pour le carburateur et une pour la consommation, et vingt-quatre lignes, une pour chaque essai observé. Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Exemple : Les carburateurs Déﬁnitions et notations Conditions fondamentales Modèle statistique Test de comparaison des moyennes Tableau empilé de l’exemple des carburateurs Essai Carburateur Consommation 1 Carburateur 1 21 2 Carburateur 1 24 3 Carburateur 1 25 4 Carburateur 1 20 5 Carburateur 1 34 6 Carburateur 1 17 7 Carburateur 2 23 8 Carburateur 2 23 9 Carburateur 2 32 10 Carburateur 2 23 11 Carburateur 2 32 12 Carburateur 2 15 Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Exemple : Les carburateurs Déﬁnitions et notations Conditions fondamentales Modèle statistique Test de comparaison des moyennes Suite du tableau précédent Essai Carburateur Consommation 13 Carburateur 3 18 14 Carburateur 3 19 15 Carburateur 3 28 16 Carburateur 3 19 17 Carburateur 3 24 18 Carburateur 3 14 19 Carburateur 4 20 20 Carburateur 4 21 21 Carburateur 4 25 22 Carburateur 4 15 23 Carburateur 4 29 24 Carburateur 4 9 Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Exemple : Les carburateurs Déﬁnitions et notations Conditions fondamentales Modèle statistique Test de comparaison des moyennes Remarque Dans la plupart des logiciels, c’est sous cette forme que sont saisies et traitées les données. Dans les deux tableaux, nous avons omis les unités de la consommation et ceci pour abréger l’écriture. Mais en principe cela doit être indiqué entre parenthèses à côté de la consommation. Remarque Il va de soi que lorsque vous rentrerez des données sous un logiciel, vous n’indiquerez pas le mot « Carburateur » à côté des nombres (1, 2, 3, 4). Il est juste là pour vous faciliter la compréhension du tableau. Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Exemple : Les carburateurs Déﬁnitions et notations Conditions fondamentales Modèle statistique Test de comparaison des moyennes Déﬁnitions Sur chaque essai, nous observons deux variables. 1. Le carburateur. Il est totalement contrôlé. La variable « Carburateur » est considérée comme qualitative avec quatre modalités bien déterminées. Nous l’appelons le facteur (factor). Ici le facteur « Carburateur » est à effets ﬁxes (ﬁxed effects). 2. La consommation. C’est une mesure. La variable « Consommation » est considérée comme quantitative. Nous l’appelons la réponse (response). Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Exemple : Les carburateurs Déﬁnitions et notations Conditions fondamentales Modèle statistique Test de comparaison des moyennes Notations La variable mesurée dans un tel schéma expérimental sera notée Y. Pour les observations nous utilisons deux indices : • le premier indice indique le numéro du groupe dans la population (« Carburateur »), • le second indice indique le numéro de l’observation dans l’échantillon (« Essai »). Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Exemple : Les carburateurs Déﬁnitions et notations Conditions fondamentales Modèle statistique Test de comparaison des moyennes Signiﬁcation des indices Pour le premier indice, nous utilisons i (ou encore i′, i′′, i1, i2). Pour le second indice, nous utilisons j (ou encore j′, j′′, j1, j2). Notation Ainsi les observations sont en général notées par : yij, i = 1, . . . , I j = 1, . . . , J(i). Déﬁnition Lorsque les échantillons sont de même taille, à savoir J(i) = J et ce quelque soit i, nous disons que l’expérience est équilibrée. Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse de la variance Vériﬁcation des trois conditions Comparaisons multiples Un exemple entièrement traité Exemple : Les carburateurs Déﬁnitions et notations Conditions fondamentales Modèle statistique Test de comparaison des moyennes Remarque Si les tailles des échantillons sont différentes, alors elles sont notées par : ni, où i = 1, . . . , I. Mais ce plan expérimental est à éviter parce que les différences qu’il est alors possible de détecter sont supérieures à celles du schéma équilibré. Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à un facteur Modélisation statistique Tableau de l’analyse uploads/Management/anova-1.pdf