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Série N° II Partie II : Variable aléatoire et lois de Probabilité Usuelles Exo

Série N° II Partie II : Variable aléatoire et lois de Probabilité Usuelles Exo 1 : Un sac contient des boules : 3 rouges, 5 blanches, 2 noires, 3 bleues et 2 vertes. 1- Donner les événements de l’ensemble fondamental. 2- Soit X une variable aléatoire à la somme en dirhams à chaque couleur : rouge 5 dh ; bleu 15 dh ; noir 10 dh ; verte 25 dh et bleu 50 dh. Montrer que nous somme en présence d’une variable aléatoire. 3- Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son E(X) et V(X). 4- Calculer et représenter sa fonction de répartition 5- Calculer les probabilités suivantes : p(X>=15) ; p(X>15) ; p(X<15) ; p(10=<X<25) ; p(10<X<25) ; p(10<X=<25) ; p(10=<X=<25). Exo 2 : Une usine produit des pièces dont 20% sont défectueuses. Quelle est la probabilité que parmi 5 pièces tirées au hasard : 1- Il y a une pièce défectueuse 2- Aucune pièce n’est défectueuse 3- Moins de 2 pièces défectueuses 4- Au moins deux pièces défectueuses 5- Au maximum 5 pièces défectueuses 6- Calculer E(X) et V(X). Exo 3: Une variable X continue définie dans un inter val [a, b] est représentée par une fonction de densité de probabilité notée. f (x ) si elle existe telle que : P (a < X < b) = ∫ a b f (x)d x. Cela dépend de deux conditions :  f (x )≥ 0 ∫ −∞ +∞ f (x )d x = 1 COURS ET EXERCICES DE PROBABILITÉ ; PROFESSSEUR MME RAMY ENS :8 (A .U : 19/20) 1 Soit X le temps d’attente T en jours pour la réception d’une marchandise commandée est aléatoire et de fonction de densité de probabilité f définie par :  f (x )≥ 0  f (x )={ t c si0≤t <4 1 2−t c 4<t ≤8 0 ailleurs 1- Trouver la constante C. 2- Donner le temps moyen d’attente pour la réception de la marchandise. 3- Pour une commande donnée, l’entreprise a déjà attendu 2 jours sans recevoir la marchandise commandée, donner la probabilité qu’elle ait à attendre encore 5 jours au plus. Exo 4 : Un concessionnaire vend le même jour 5 véhicules, sachant que la probabilité pour que ce type de voiture roule 2 ans après est de 80%, calculer : -la probabilité que les 5 véhicules soient encore en service ; - la probabilité que 2 véhicules au plus soient hors service. Exo 5: Une société vend des produits de beauté par téléphone, la probabilité qu’un client soit intéressé par le produit est de 0,01. En une seule journée la société a réalisé 500 appels téléphoniques. - Donner sous forme de formule la probabilité qu’il y ait exactement 10 clients intéressés. - Donner la probabilité qu’il ait plus de 10 clients - Donner la probabilité qu’il ait plus de 2 clients par la méthode directe et par approximation. Exo 6 : On jette dix fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée en notant chaque fois le résultat, ce qui constitue une partie. 1- On note X la variable aléatoire qui à chaque partie on associe le nombre de « face » obtenu. a- Justifier que la loi de probabilité suivie par la variable X est une loi binomiale, on précisera les paramètres de cette loi. COURS ET EXERCICES DE PROBABILITÉ ; PROFESSSEUR MME RAMY ENS :8 (A .U : 19/20) 2 b- Calculer la probabilité de l’événement E. 2- On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire discrète X par la loi normale des paramètres m et 5. a- Expliquer pourquoi on prend m = 5 et 5 = √2,5 b- On considère une variable aléatoire Y suivant la loi N (5 ; √2,5). En utilisant cette approximation, calculer la probabilité de l’événement : « le nombre de « face » est compris entre 3 et 6, bonnes incluses, c'est-à-dire P (2 ,5 ≤ Y ≤6,5). Exo 7 : Entre 16h et 17h, il y a en moyenne 5 clients qui arrivent dans un magasin. Soit X le nombre exact de clients qui arrivent en magasin durant cette heure ; le nombre Y de ventes réalisées durant cette heure est une variable aléatoire telle que p(Y=y/X=x)= e −x xͪ ⁄ ͪ !, h= 0,1,2,3, Pour une journée donnée et entre 16 h et 17h donner la probabilité d’avoir : 1- Plus de 2 clients qui entre au magasin 2- 3 clients qui entrent et 7 ventes 3- 2 ventes avec au maximum 7 clients 4- 3 clients qui sont entrées dans le magasin s’il y a 2 ventes. Exo 8 : On jette dix fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée en notant chaque fois le résultat, ce qui constitue une partie. 3- On note X la variable aléatoire qui à chaque partie on associe le nombre de « face » obtenu. c- Justifier que la loi de probabilité suivie par la variable X est une loi binomiale, on précisera les paramètres de cette loi. d- Calculer la probabilité de l’événement E. 1- On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire discrète X par la loi normale des paramètres m et 5. c- Expliquer pourquoi on prend m = 5 et 5 = √2,5 d- On considère une variable aléatoire Y suivant la loi N (5 ; √2,5). En utilisant cette approximation, calculer la probabilité de l’événement : « le nombre de « face » est compris entre 3 et 6, bonnes incluses, c'est-à-dire P (2 ,5 ≤ Y ≤6,5). COURS ET EXERCICES DE PROBABILITÉ ; PROFESSSEUR MME RAMY ENS :8 (A .U : 19/20) 3 Exo 9 : Dans une entreprise, on utilise 12 micro-ordinateurs. Pour chacun d’eux, la probabilité de l’évènement « tomber en 55panne un jour donné » est de 0,036, quelque soit le jour. On suppose que les éventuelles pannes sont indépendantes et sont réparées dans la journée. On appelle X la variable aléatoire qui à tout jour ouvrable choisi au hasard associe le nombre de micro-ordinateur tombés en pannes ce jour –là. 1- Si X suit une loi binomiale, donner ses paramètres, 2- Calculer l’espérance mathématique notée E(X), que représente ce E(X) ? 3- On choisi au hasard un jour. Déterminer une valeur approchée à 10¯5 près de la probabilité de l’évènement A : « Trois micro-ordinateurs au moins tombent en panne ce jour –là », 4- Les bureaux de l’entreprise sont ouverts 250 jours par an. On appelle Y la variable aléatoire qui à toute « année » de 250 jours associe le nombre de jours ou se produit l’évènement A. Dans ce qui on prend p(A)= 0,008. - Quelle est la loi de la variable Y ? - En utilisant une approximation de la loi suivie par Y par la loi de poisson dont on donnera le paramètre, déterminer une valeur approchée à 10¯ 3 près de la probabilité de l’évènement : « A est réalisé au moins trois jours par an ». Exo 10 : On considère un guichet bancaire, on a constaté que le nombre de clients par minute arrivant vers le guichet est de 0,8 ; sachant que le nombre de clients par minute suit une loi L. 1- Déterminer cette loi de probabilité, 2- Déterminer la probabilité pour qu’il n’y ait aucun client entre 14h30 et 14h31mn. 3- Déterminer la probabilité pour qu’i y ait 1 ou 2 clients ; 4- Déterminer la probabilité pour qu’il y ait plus de 2 clients. COURS ET EXERCICES DE PROBABILITÉ ; PROFESSSEUR MME RAMY ENS :8 (A .U : 19/20) 4 uploads/Marketing/ se-rie-2-prob.pdf