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CHAPITRE 1 NOTIONS SUR LE CALCUL D’ERREUR 1.1 Introduction L’analyse numérique

CHAPITRE 1 NOTIONS SUR LE CALCUL D’ERREUR 1.1 Introduction L’analyse numérique est le domaine des mathématiques où l’on étudie des algorithmes pour la résolution numérique des problèmes de l’analyse mathématique. Lorsque l’on ne peut pas résoudre un problème analytiquement, on fait appel à l’analyse numérique pour trouver une solution approchée. Une partie importante de l’analyse numérique consiste donc à contenir les effets des erreurs introduites par les approximations. Ces erreurs proviennent de trois sources principales : - Les erreurs de modélisation : proviennent de l’étape de mathématisation du phénomène physique auquel on s’intéresse. - Les erreurs de représentation sur ordinateur : ces erreurs sont liées à l’utilisation de l’ordinateur. La représentation sur ordinateur (généralement binaire) des nombres introduit souvent des erreurs. - Les erreurs de troncature : proviennent principalement de l’utilisation du développement de Taylor, qui permet par exemple de remplacer une équation différentielle par une équation algébrique. 1.2 Définition 1 Soit , un nombre et , une approximation de ce nombre. L’erreur absolue est définie par : 1.3 Définition 2 Soit , un nombre et , une approximation de ce nombre. L’erreur relative est définie par : En multipliant par 100%, on obtient l’erreur relative en pourcentage. En pratique, il est difficile d’évaluer les erreurs absolue et relative, car on ne connait pas la valeur exacte de et on n’a que . Dans le cas de quantités mesurées dont ne connait que la valeur approximative, il est impossible de calculer l’erreur absolue; on dispose en revanche d’une borne supérieure pour cette erreur qui dépend de la précision des instruments de mesure utilisés. Cette borne est appelée erreur absolue, alors on a Ce qui peut également s’écrire : On peut interpréter ce résultat en disant que l’on a estimé la valeur exacte à partir de avec une incertitude de de part et d’autre. L’erreur absolue donne une mesure quantitative de l’erreur commise et l’erreur relative en mesure l’importance. Par exemple, si on fait usage d’un chronomètre dont la précision est de l’ordre du 10ème de seconde, l’erreur absolue est bornée par 0,1s. Mais est-ce une erreur importante ? Dans le contexte d’un marathon d’une durée de 2h20mn (temps moyen), l’erreur relative liée au chronométrage est très faible : et ne devrait pas avoir de conséquence sur le classement des coureurs. Par contre, s’il s’agit d’une course de 100m d’une durée d’environ 10s (temps moyen), l’erreur relative est beaucoup plus importante : soit 1% du temps de course. Avec une telle, on ne pourra vraisemblablement pas faire la différence entre le premier et le deuxième coureur. 1er coureur 2ème coureur CHAPITRE 2 INTERPOLATION 2.1 Introduction Le problème est le suivant : à partir d’une fonction f(x) connue seulement en (n+1) points de la forme , peut-on construire une approximation de f(x), et ce pour tout x ? Les points sont appelés points de collocation ou points d’interpolation et peuvent provenir de données expérimentales ou d’une table. En d’autre termes, si on ne connait que les points de collocation d’une fonction, peut-on obtenir une approximation de f(x) pour une valeur de x différente des xi ? Théorème Un polynôme de degré n dont la forme générale est : Possède très exactement n racines qui peuvent être réelles ou complexes conjuguées. (on sait que r est une racine de si ) . 2.2 Méthode directe On se donne (n+1) points . On calcule . Et on cherche un polynôme de degré n tel que Ecrivons explicitement : Sous forme matricielle : La matrice est de type Vandermonde. Le déterminant de cette matrice est : On a si tous les sont distincts. On peut donc trouver un unique vecteur de coefficients résolvant le problème. 2.3 Interpolation de Lagrange 2.3.1 Théorème Soient (n+1) points distincts réels et (n+1) réels , il existe un unique polynôme tel que : Démonstration : - Construction de p : avec polynômes de Lagrange - Propriétés de   2.3.2 Exemple 1 : interpolation linéaire (n=1) On connait 2 points et et on cherche la droite (polynôme de degré 1) qui passe par les 2 points : 2.3.3 Exemple 2 : interpolation parabolique (n=2) On connait 3 points (0, 1) , (2, 5) et (4, 17) et on calcule les polynômes de Lagrange associés : Le polynôme d’interpolation s’écrit sous la forme : En simplifiant, on trouve 2.3.4 Exemple 3 (n=2) - La fonction à approcher est : . - On connait 3 points (0, 1) , (2, 7.3891) et (4, 54.5982) - Le polynôme d’interpolation est 2.4 Interpolation itérée de Newton 2.4.1 Principe Soient (n+1) points . On calcule . Et On cherche un polynôme de degré n tel que L’interpolation de Lagrange présente un problème : Si on dispose d’un point supplémentaire en plus des (n+1) , le polynôme d’interpolation obtenu ne peut pas se déduire facilement du polynôme relatif aux points . Il faut commencer par donner tous les polynômes de base de degré n+1 et tous les coefficients. L’interpolation itérée de Newton est un procédé itératif qui permet de calculer le polynôme d’interpolation de degré n basé sur (n+1) points à partir du polynôme d’interpolation de degré (n-1) basé sur n points , en posant : Or Donc est racine de pour i=0,…..,n D’où Les coefficients sont appelés différences divisées d’ordre n de la fonction f, on note : On appelle différence divisée d’ordre 0 de f en un point x : La différence divisée d’ordre 1 de f en x et y : D’où La différence divisée d’ordre 2 de f en x, y et z : Et plus généralement : Quel est le lien entre et les différences divisées ? Soit x un point autre que les n+1 points . On a D’où Mais comme Alors On vérifie que : où est un polynôme de degré n tel que : C’est le polynôme d’interpolation de Lagrange. On l’appelle le polynôme de Newton. 2.4.2 Forme tabulaire …….. Le polynôme d’interpolation est de la forme : 2.5 Erreur d’interpolation Théorème Soit I un intervalle contenant et . Si f est (n+1) fois continûment dérivable sur I, alors il existe   I et dépendant de x tel que :  avec Cette expression ne permet pas de calculer la valeur exacte de l’erreur parce que, en général,  est inconnu. Elle peut permettre d’en calculer une majoration ou de choisir des points d’interpolation de façon optimale lorsque ceux-ci ne sont pas imposés : - En choisissant plus astucieusement les points d’interpolation, on peut optimiser l’erreur d’interpolation. - Le problème devient alors : trouver qui minimise  - Cette famille de polynôme s’appelle les polynômes de Chebyshef. Définition La norme de maximum d’une fonction est : Soit On a alors Donc où Dans le cas de l’erreur d’interpolation à partir de la forme de Newton, on a : Comme on a la même fonction f selon les mêmes points , il s’agit de deux formes du même polynôme, et l’erreur d’interpolation est la même, d’où  uploads/Philosophie/ analyse-numerique-chap1-amp-2.pdf