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PUBLICATIONS MATHÉMATIQUES DE L’I.H.É.S. ARMAND BOREL JACQUES TITS Groupes rédu

PUBLICATIONS MATHÉMATIQUES DE L’I.H.É.S. ARMAND BOREL JACQUES TITS Groupes réductifs Publications mathématiques de l’I.H.É.S., tome 27 (1965), p. 55-151 <http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__27__55_0> © Publications mathématiques de l’I.H.É.S., 1965, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Publications mathématiques de l’I.H.É.S. » (http:// www.ihes.fr/IHES/Publications/Publications.html) implique l’accord avec les conditions géné- rales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou im- pression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce ﬁchier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ GROUPES RÉDUCTIFS par ARMAND BOREL et JACQUES TITS (1) Ce travail est consacré principalement à l'étude de propriétés d'un groupe algébrique linéaire connexe réductif G qui sont relatives à un corps de définition k de G. Il s'agit notamment d'introduire, à l'aide de A-sous-groupes (i.e. de sous-groupes fermés définis sur k) des notions qui généralisent naturellement celles de tore maximal, racines, groupe de Weyl, etc. de la théorie classique, de démontrer l'existence d'une décomposition de Bruhat pour le groupe Gjç des points de G rationnels sur k, et des théorèmes de conjugaison « sur k », i.e. par des éléments de G^. A cet effet, on utilisera essentiellement deux familles de sous-groupes de G : les tores déployés ou décomposés sur k (i.e. isomorphes sur k à un produit de groupes multiplicatifs G^) maximaux et les A-sous-groupes P para- boliques (i.e. tels que G/P soit une variété projective) minimaux. Ils jouent respectivement le rôle des tores maximaux et des sous-groupes résolubles connexes maximaux sur un corps algébriquement clos. Ces résultats font l'objet des §§ 4 à 7 de I. La deuxième partie apporte divers compléments ou applications dans lesquels G n'est pas toujours réductif ou bien k est soumis à certaines restrictions. Les §§ o à 2 sont de nature préliminaire. Le § o fixe des conventions et notations; le § i rassemble quelques résultats sur les tores ; le § 2 rappelle les propriétés fondamentales d'un groupe réductif G, dont nous aurons besoin : structure de G lorsque G est déployé sur k (ce qui équivaut à l'existence d'un tore maximal déployé sur A), densité de Gj^ si k est infini, existence d'un tore maximal défini sur k et d'une extension séparable de k sur laquelle G est déployé (2.14). Le § 3 est consacré à l'étude de certains A-sous-groupes H normalisés par un tore maximal de G défini sur A. On établit en particulier l'existence et la conjugaison sur A de décompositions de Levi (3.13, 3.14)3 puis, dans certains cas, l'existence d'une suite de composition à quotients successifs vectoriels sur lesquels un tore donné opère par homothéties, lorsque H est unipotent (3.17, 3.i8), et de A-sections locales de la fibration de G par H (3.24). Dans le § 4, ces résultats sont appliqués à l'intersection de deux A-sous-groupes paraboliques P, P'. On montre en outre notamment que : la fibration de G par P possède des A-sections locales; si P et P' sont conjugués sur une extension K de A, ils (1) A certaines périodes durant l'élaboration de ce travail, nous avons bénéficié de l'aide financière de la N.S.F. : le premier auteur à l'Université de Chicago et à Paris (contract GP-2403), le second auteur à l'Institute for Advanced Study (contract GP-779) et à l'Université de Chicago (contract GP-574). 659 56 A R M A N D B O R E L E T J A C Q U E S T I T S sont conjugués sur k ; si P et P' sont minimaux, ils sont conjugués sur k (4.13). On établit également la conjugaison sur k des tores déployés sur k maximaux (4.21) et on relie ces sous-groupes aux A-sous-groupes paraboliques minimaux (4.16). Les démonstrations font jouer un rôle important à la notion de sous-groupes paraboliques P, P' opposés (PnR^P^P'nR^P)-{<?}, cf. 4.8, 4.10). Soit S un tore déployé sur k maximal. Par définition, le groupe de Weyl fcW(G) de G relatif à k est le quotient ^{S) 1^'{S) du normalisateur de S par le centralisateur de S, et les A-racines de G par rapport à S sont les caractères non triviaux de S dans la représentation adjointe de G. On montre (5.3) que ^W(G), vu comme groupe d'auto- morphismes de X*(S)®z^3 (°ù X*(S) est le groupe des caractères rationnels de S), muni d'un produit scalaire convenable ( , ), est le groupe engendré par les symétries par rapport aux hyperplans orthogonaux aux A-racines, et (5.8) que l'ensemble ^O(G) de ces dernières est un « système de racines » (i.e., outre l'invariance par le groupe de Weyl, vérifie la condition 2{a, b){b, b^eZ {a, 6e^(G))). De plus, on a ^(S)==^{S)^ ^(S) et les doubles classes de Gjç suivant P^ (P un A-sous-groupe parabolique minimal) corres- pondent biunivoquement aux éléments de ^W(G), « décomposition de Bruhat », (5.15). Le § 6 met en relations les racines et groupes de Weyl relatifs à A et à une extension K de A, les sous-groupes paraboliques sur K et sur A, et les décompositions de Bruhat de G^ et G^. On montre aussi que GI^R^P^-U^.PK où P est un A-sous-groupe parabolique minimal et U~ le radical unipotent d'un K-sous-groupe opposé à P (6.25). L'ensemble <3>o des éléments de ^(G) dont le double n'est pas une racine est aussi un système de racines. Dans le § 7, on construit un A-sous-groupe déployé de G dont S et <&o sont respectivement un tore maximal et le système de racines. Dans le § 10 on montre (10.2) que dans un groupe algébrique quelconque G, la classe de conjugaison d'un élément semi-simple est fermée (et réciproquement si G est semi-simple) et que le centralisateur d'un A-tore, A étant un corps de définition pour G, est aussi défini sur A (10.5). Dans le § n, on retrouve des résultats de Grothendieck et Rosenlicht sur l'existence et la conjugaison sur A de A-sous-groupes de Cartan de G lorsque G est résoluble. Dans les paragraphes restants, on fait des hypothèses restrictives sur le corps de base A. Le § 8 le suppose parfait et prouve, par un argument de points fixes, la conjugaison sur A des sous-groupes connexes trigonalisables sur A (i.e. isomorphes sur A à un groupe de matrices triangulaires) maximaux (8.2). Si A est localement compact de caractéristique zéro, Gjç est muni naturellement d'une structure de groupe topologique. Les §§9, 13, 14 sont consacrés à diverses questions mettant en jeu cette topologie; en particulier : condition nécessaire et suffisante pour que G^/H^; ou (G/H)^ soit compact (9.3) ou pour que Gjç soit engendré par un voisinage compact de l'élément neutre (13.4), structure du groupe des composantes connexes de G/g lorsque A== R et G est irréductible (14.5). Dans le § 14, on fait également le lien entre le point de vue développé ici et la théorie transcendante (décomposition d'Iwasawa, groupe de Weyl et racines d'une « paire symétrique »). 660 GROUPES RÉDUCTIFS 57 Enfin, le § 12 suppose G semi-simple connexe, k de caractéristique zéro, et discute des questions de rationalité des représentations linéaires ou projectives irréductibles de G et des propriétés de leurs poids restreints à S. On caractérise, notamment, les poids dominants des représentations projectives définies sur k (12.6) et des représentations linéaires fortement rationnelles sur k, c'est-à-dire qui sont définies sur A;, et dont l'espace de représentation contient une droite définie sur k stable par un sous-groupe parabolique de G (12.10). Les résultats de ce travail ont été en partie annoncés antérieurement [2, 34, 35], souvent en supposant k parfait, restriction qui a pu être levée grâce aux résultats de Grothendieck [n] rappelés en 2.14. Remarquons à ce propos qu'un certain nombre de complications techniques ou de détours sont dus à la nécessité de montrer que certains sous-groupes k-fermés sont définis sur k, ou que certaines classes de sous-groupes contiennent un représentant défini sur A:, résultats qui sont évidents ou bien connus si l'on suppose le corps de base parfait. Sous cette dernière hypothèse, une partie des résultats des §§ 4, 5, 8 est aussi démontrée par Satake [28]. § o. NOTATIONS ET RAPPELS 0.1. Les corps sont toujours commutatifs. Si k est un corps, k*, kg et k désignent respectivement le groupe multiplicatif des éléments non nuls de /:, une clôture séparable de k et une clôture algébrique de À;; si k' est une extension normale séparable de k, GolÇk' fk) désigne le groupe de Galois de k' sur k. 0.2. Soient G un groupe, H une partie de G. On notera souvent ^H le transformé de H par Pautomorphisme intérieur Int g : x\->g.x.g~1 {g, xeG). L'image d'un sous- groupe L de G dans le groupe Int G des automorphismes intérieurs de G sera notée Int^L. ^(H) ou ^'(H) est le normalisateur de H dans G, et ^(H) ou <2T(H) le centra- lisateur de H dans G. Le i-ième groupe dérivé (resp. le z-ième terme de la série centrale descendante) de G est noté ^G (resp. TG\ et l'on pose Q^ G = D ^G, ^°° G = H uploads/Philosophie/ borel-tits-groupes-reductifs-pdf.pdf