Probabilités Appliquées Variables aléatoires discrètes L. Horchani & N. Chaouac

Probabilités Appliquées Variables aléatoires discrètes L. Horchani & N. Chaouachi E.N.S.I 2020/2021 E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 1 / 38 1 Rappel sur les manipulations de séries 2 Définition 3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire 4 Variables aléatoires indépendantes 5 Fonction de répartitions 6 Couple de variables aléatoires 7 Paramètres d’une variable aléatoire 8 Fonction génératrice 9 Lois discrètes usuelles Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi géométrique Loi de Poisson E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 2 / 38 I-Rappel sur les manipulations de séries Une série X n∈N an est convergente si la suite n X i=0 ai est convergente. La valeur de la série est la limite de la suite n X i=0 ai. On dit qu’une série X n∈N an est absolument convergente si la série X n∈N |an| est convergente. Théorème (Fubini) Si la serie X (n,p)∈N2 |a(n,p)| est convergente, alors on a : X (n,p)∈N2 a(n,p) = X n∈N  X p∈N a(n,p)  = X p∈N  X x∈N a(n,p)   E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 3 / 38 Proposition (Convergence dominée) Soit (a(n,p), n ≥0, p ≥0) une suite telle que pour tout n ≥0, p ≥0, |a(n,p)| ≤bn. On suppose de plus que pour tout n ≥0, lim p→+∞a(n,p) existe. Si la série à termes positifs X n∈N bn est (absolument) convergente, alors on a : lim p→+∞ X n≥0 a(n,p) = X n≥0 lim p→+∞a(n,p). On se place maintenant sur R ou C. Soit (an, n ∈N) une suite de nombres complexes. La série entière associée à la suite (an, n ∈N) est la série X n∈N anzn, z ∈C. Le rayon de convergence de la série entière est défini par : R = sup{r > 0; X n∈N |an|r n est convergente}, E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 4 / 38 Proposition 1 Si |z| > R, alors la série X n∈N anzn diverge trivialement (la suite (anzn) n’est pas bornée). 2 Si |z| < R, alors la série X n∈N anzn est absolument convergente. 3 Soit 0 < r < R. La série X n∈N anzn est normalement convergente sur {z ∈C; |z| ≤r}. E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 5 / 38 Lemme (rappel de quelques formules) Soit q un réel tel que 0 < q < 1. n X i=0 qi = 1 −qn+1 1 −q +∞ X i=0 qi = 1 1 −q +∞ X i=0 iqi−1 = 1 (1 −q)2 E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 6 / 38 II-Définition Dans toute la suite de ce module, nous travaillerons sans le spécifier nécessairement systématiquement sur un espace de probabilité (Ω, τ, P). Nous pourrons également considérer sans inquiétude que toutes les parties de Ωqui nous intéressent sont des événements (i.e. sont dans τ). Définition Soit une application X : Ω→X(Ω) où X(Ω) ⊆R. X est une variable aléatoire réelle si et seulement si, pour tout réel x ∈R , l’image réciproque X −1(x) est un élément de τ. Il y a là, d’une certaine façon, une contradiction dans les termes : une variable aléatoire n’est pas une variable, c’est une fonction ; et elle n’a rien en elle-même d’aléatoire, c’est l’espace sur lequel elle agit qui est probabiliste. E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 7 / 38 Remarques : 1 Pour x ∈X(Ω), on note de façon concise {X = x} l’événement {ω ∈Ω: X(ω) = x}. 2 La famille des nombres (P(X = x))x∈X(Ω) s’appelle la loi de X. 3 (X = x)x∈X(Ω) est une famille dénombrable d’événements deux à deux disjoints t.q. [ x∈X(Ω) {X = x} = Ω, i.e c’est un s.c.e. Donc par la propriété de σ-additivité, X x∈X(Ω) P(X = x) = P  [ x∈X(Ω) {X = x}  = P(Ω) = 1. 4 Si X(Ω) est une partie dénombrable de R, nous dirons que X est une variable aléatoire discrète (V.A.D). 5 Une variable aléatoire discrète sera dite finie ou infinie suivant que l’ensemble de ses valeurs est fini ou infini. E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 8 / 38 III-Loi de probabilité d’une variable aléatoire Définition : ∀x ∈R , on a {X = x} ∈τ. On appelle loi de la v.a X , la fonction fX : R →[0, 1] t.q : ∀x ∈R, fX(x) = P[X = x] Dans la pratique, il n’est pas rare que l’on ne décrive une variable aléatoire que par sa loi, sans se préoccuper d’écrire explicitement l’espace de probabilités sur lequel elle est définie. Quand dans une expérience aléatoire on ne s’intéresse qu’à la v.a X, cela revient à se placer dans le nouvel espace fondamental (X(Ω); τ; fX). Dans bien des cas, on ne précisera pas l’espace Ωchoisi. E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 9 / 38 Propriété : X x∈X(Ω) fX(x) = 1 Définition On dira que deux v.a X et Y ont même loi, ou sont identiquement distribués, si leurs lois fX et fY sont identiques. Cette relation sera notée X ∼Y La v.a X est entièrement déterminée par sa loi fX. E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 10 / 38 Exemples : 1 Dans le cas du jet de deux dés, la somme S des deux dés est une variable aléatoire discrète à valeurs dans S(Ω) = 2, 3, . . . , 12 dont la loi est : s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(S = s) 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 2 Soit A ⊂Ωun événement. Sa fonction indicatrice 1 1A : Ω→{0, 1} définie par ∀ω ∈Ω, 1 1A(ω) ( 1, si ω ∈A 0, sinon est une variable aléatoire discrète de loi : P(1 1A = 1) = P(A) P(1 1A = 0) = 1 −P(A). E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 11 / 38 IV-Variables aléatoires indépendantes Définitions 1 Deux variables aléatoires discrètes X et Y à valeurs respective- ment dans X(Ω) et Y (Ω) sont dites indépendantes si : ∀x ∈X(Ω), ∀y ∈Y (Ω), P(X = x, Y = y) = P(X = x) × P(Y = y). 2 n variables aléatoires discrètes X1, X2, . . . , Xn à valeurs respectivement dans X1(Ω), . . . , Xn(Ω) sont dites indépendantes si : ∀x1 ∈X1(Ω), . . . , ∀xn ∈Xn(Ω) P(X1 = x1, . . . , Xn = xn) = n Y i=1 P(Xi = xi). 3 Une famille quelconque de variables aléatoires discrètes est dite indépendante si toute sous-famille finie l’est. E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 12 / 38 Exemple Jet de 2 dés : Ω= {(i, j) : 1 ≤i, j ≤6} muni de la probabilité uniforme. Si on note X1 la valeur du premier dé et X2 celle du second, on aX1(i, j) = i et X2(i, j) = j. On vérifie facilement que : ∀ 1 ≤i ≤6, P(X1 = i) = P(X2 = i) = 1 6, Comme : ∀ 1 ≤i, j ≤6, P(X1 = i, X2 = j) = 1 36 = P(X1 = i) × P(X2 = j), les variables X1 et X2 sont indépendantes . E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 13 / 38 V-Fonction de répartition Soit X : Ω→R une variable aléatoire réelle de l’espace de probabilité (Ω; τ; P) et PX sa loi de probabilité Définition On appelle fonction de répartition de X la fonction FX définie sur R, et à valeurs dans [0; 1], par : FX(x) = PX(] −∞; x]) = P(X ≤x) ∀x ∈R On peut remarquer que la valeur de PX sur tout intervalle ]a; b] s’obtient simplement à partir de la fonction de répartition : PX(]a; b]) = P(a < X ≤b) = FX(b) −FX(a) Lemme La fonction de répartition caractérise la loi : si deux variables aléatoires X et Y ont même fonction de répartition, alors elles ont même loi. E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 14 / 38 Corollaire Les v.a. réelles Xi, 1 ≤i ≤n, sont indépendantes si et seulement si pour tout xi ∈R, P n \ i=1 {Xi ≤xi}  = n Y i=1 FXi(xi); FXi étant la fonction de répartition de Xi. La fonction de répartition d’une v.a possède les propriétés suivantes : Propriétés Soit X la fonction de répartition d’une v.a X. Alors : 1 FX est croissante. 2 lim x→−∞FX(x) = 0 et lim x→+∞FX(x) = 1. 3 FX est continue à droite. 4 FX a une limite à gauche en tout point. 5 Si FX admet une discontinuité en x0, FX(x0) −lim x0−FX(.) = P(X = x0). E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 15 / 38 Exemple Soit X la variable aléatoire indiquant le résultat du lancé d’un dé équilibré. Sa fonction de répartition FX saute de 1 6 aux points 1; . . . ; 6 Figure – Fonction de répartition de X E.N.S.I (II.1) Probabilités Appliquées 2020/2021 16 / 38 VI-Couple de variables aléatoires Définition Un couple de variables aléatoires (X, Y ) est la donnée de deux variables aléatoires définies sur le même uploads/Philosophie/ variables-aleatoires-discretes.pdf

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