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Université Hassan II Année Universitaire 2020 - 2021 Faculté des Sciences et Te

Université Hassan II Année Universitaire 2020 - 2021 Faculté des Sciences et Techniques BCG S1, Algèbre Mohammedia Enseignant: Driss KARIM Feuille de T.D. n◦1 Eléments de Logique, Ensembles et Applications Correction-suite Quelques Règles 1. Lois de Morgan ¬(p ∧q) ≡(¬p ∨¬q), et ¬(p ∨q) ≡(¬p ∧¬q). 2. On a P ⇒Q ≡P ∨Q, donc la négation de P ⇒Q qui s’écrit P et (nonQ). 3. la contraposée de P ⇒Q qui est (nonQ) ⇒(nonP). 4. La négation de ∀x ∈E P(x) est ∃x ∈E non P(x). 5. Pour la négation d’une proposition, il faut être précis : la négation de l’inégalité stricte < est l’inégalité large ≥, et inversement. Exercice 1 : Soient P, Q et R trois propositions, donner la négation de: (a) P et (¬Q ou R); P ou (Q et R) ≡P ∨(Q ∧R) ≡(P ∨Q) ∧(P ∨R) ≡(P ∨Q) ∧(P ∧R). (b) (P et Q) ⇒R (P et Q) et R ≡(P ∧Q) ∧R ≡P ∧Q ∧R. Exercice 2 : Exprimer à l’aide de quantiﬁcateurs les propositions suivantes puis donner la négation mathématique des chacunes: 1. Toutes les boules contenues dans l’urne sont vertes; On note U l’ensemble des boules contenues dans l’urne, b une boule et P(b) signiﬁe elle est verte := ∀b ∈U P(b). La négation : ∃b ∈U nonP(b) := il y a au moins une boule contenue dans l’urne n’est pas verte. 2. Certains nombres entiers sont impairs; ∃n ∈Z : n = 2k + 1, k ∈Z. La négation : ∀n ∈Z : n = 2k, k ∈Z, tous nombre entier est pair. 3. Il a fait beau tous les jours de la semaine; il y a un jour de la semaine où il a fait mauvais. 4. Il n’aime ni les carottes cuites, ni les poivrons; il aime les carottes cuites ou les poivrons. 5. Si un nombre entier est divisible par 3, alors il se termine par 3; Soit n ∈Z, si n = 3k, où k ∈Z, alors n se termine par 3. La négation : Soit n ∈Z, tel que n = 3k, où k ∈Z et n ne se termine pas par 3. 6. S’il fait beau alors je suis heureux; il fait beau et je ne suis pas heureux. 7. Tout entier non nul admet un diviseur; ∀n ∈N∗∃p ∈N∗tel que p | n. La négation : ∃n ∈N∗∀p ∈N∗tel que p ∤n. Il existe au moins un entier non nul qui n’admet pas de diviseurs. 1 8. S’il pleut, alors le sol est mouillé; il pleut et le sol n’est pas mouillé. La négation dans ce cas (si ...alors...) se fait en supprimant les éléments de l’implcation (si et alors). Soit f : R →R une fonction. 9. f est positive; ∀x ∈R : f(x) ≥0. La négation : la fonction n’est positive pas si ∃x ∈R : f(x) < 0. Attention la négation d’une fonction positive n’est pas une fontion négative. 10. f est paire sur R; Une fonction f déﬁnie sur un ensemble D symétrique (si x ∈D, alors−x ∈D) par rapport à 0 est paire si et seulement si pour tout x ∈D : f(−x) = f(x). La négation : la fonction f n’est pas paire sur R si ∃x ∈R : tel que f(−x) ̸= f(x). Attention la négation d’une fonction paire n’est pas une fontion impaire. 11. Le graphe de f coupe la droite d’équation y = x; ∃x ∈R : f(x) = x. La négation : ∀x ∈R : f(x) ̸= x, c-à-d, Le graphe de f ne coupe pas la première bissectrice (droite d’équation y = x). 12. L’équation f(x) = 0 a une solution; ∃x ∈R : f(x) = 0, c-à-d, le graphe de f coupe l’axe des abscisses. La négation : ∀x ∈R : f(x) ̸= 0, le graphe de f ne coupe pas l’axe des abscisses. Donc le graphe de f soit au-dessus, soit en dessous de l’axe des abscisses. 13. L’équation f(x) = 0 a exactement une solution; cela signiﬁe juste quil existe un unique point tel que f(x) = 0. Donc le graphe de f coupe l’axe des abscisses en un seul point. La négation : la négation de cette proposition contient deux paties, l’équation f(x) = 0 n’a pas exactement une solution si et seulement si ∀x ∈R : f(x) ̸= 0, ou ∃(x1, x2) ∈R2 tels que x1 ̸= x2 et f(x1) = 0 = f(x2). L’interprétation géométrique de cette négation est que le graphe de f ne coupe pas l’axe des abscisses ou le graphe de f coupe l’axe des abscisses en au moins 2 points. 14. f ne peut s’annuler qu’une seule fois; même chose 13. 15. f est croissante sur R; on dit que la fonction f est croissante sur R si pour tout (x1, x2) ∈R2, on a x1 ≤x2 ⇒f(x1) ≤f(x2). La négation : ∃(x1, x2) ∈R2, tel que x1 ≤x2 et f(x1) > f(x2). Attention la négation d’une fonction croissante n’est pas une fontion décroissante. 16. f est l’identité de R; la fonction identité est une fonction tel que ∀x ∈R : f(x) = x. La négation : la fonction f n’est pas une fonction identité si ∃x ∈R : f(x) ̸= x. 17. ∃x ∈R tel que 1 ≤x ≤2 ou f(x) ≤3. ∀x ∈R tel que x ∈] −∞, 1[∪]2, +∞[ et f(x) > 3. Car la négation de 1 ≤x ≤2 ≡x ∈[1, 2] signiﬁe que x / ∈[1, 2] ≡] −∞, 1[∪]2, +∞[. Exercice 3 : Sur la cour de l’école, Said donne les informations suivantes à son copain Jawad : • je fais du foot. • si je ne fais pas du vélo alors je ne fais pas de foot • Je ne fais pas de tennis ou je fais de la trottinette • Si je fais du vélo alors je fais du tennis A partir de ces informations on peut conclure que : 1. Said fait du vélo 2. Said ne fait pas de tennis 2 3. Said ne fait pas de trottinette 4. Si Said ne fait pas de trottinette alors il ne fais pas de vélo. On note les propositions suivantes : v Said fait du vélo; t Said fait du tennis; f Said fait du foot; tr Said fait de trottinette. On traduit les hypothèses, par les propositions logiques suivantes : • f est vraie ; • v implique f, (ce qui équivaut à t ⇒tr); • t ou tr ; • v ⇒t. Il s’agit d’utiliser ces propositions pour conclure. 1. On a f est vraie et f ⇒v. Donc v est vraie. Autrement dit, Said fait du vélo. 2. On v est vraie et v ⇒t est vraie. Donc t est vraie, c-à-d, Said ne fait pas de tennis est fausse. 3. On a t est vraie et t ou tr est vraie. On constate que tr est vraie. C-à-d, Said ne fait pas de trottinette est fausse 4. On a v est vraie, tr est aussi vraie. Donc v ⇒tr est vraie, et par suite Si said ne fait pas de trottinette alors il ne fait pas de vélo est vraie. Exercice 4 : Quatre amis ( Ali, Brahim, Chouaib, Driss) ont chacun une couleur préférée ( bleu, rouge, vert, jaune) un animal ( chat, chien, lapin, poisson) et une matière préférée (philosophie, économie, anglais, mathématiques). Nous savons à leur sujet que : Ali préfère le jaune • Brahim a un chat • Chouaib aime l’anglais Celui qui préfère le bleu a un chien • Driss qui n’aime pas le rouge a un lapin Celui qui a un poisson préfère les mathématiques • Celui qui préfère le rouge aime l’économie A partir de ces informations on peut conclure que : • 1. Celui qui a un chat aime les mathématiques. 2. Driss aime la philosophie 3. Chouaib a un chien 4. Celui qui a un poisson aime le vert. Pour résumer les hypothèses de notre exercice, on trace le tableau suivant: 3 ... Ali Brahim Chouaib Driss Couleur Jaune Rouge Bleu Vert Animal Poisson Chat Chien Lapin Matière mathématiques Economie Anglais Philosophie Table 1: Mon tableau Et par suite on peut conclure: 1. Celui qui a un chat aime les mathématiques est Fausse. 2. Driss aime la philosophie est Vraie. 3. Chouaib a un chien est Vraie. 4. Celui qui a un poisson aime le vert est fausse. Extrait de l’examen Juin 2015 : Soit E l’ensemble des étudiants de la F.S.T.M. On note S l’ensemble des jours de la semaine. Pour chaque étudiant e ∈E on note hj(e) son heure du réveil le jour j ∈S. Alors la traduction en terme de quantiﬁcateurs de “Tout étudiant de la FSTM se réveille au moins une fois dans la semaine avant 7h" est: A. ∀j ∈S, ∃e ∈E on a hj(e) < 7 B. ∃j ∈S, tel que ∀e ∈E, hj(e) < 7 C. ∃e ∈E, tel que ∀j ∈S, hj(e) < 7 D. ∀e ∈E, ∃j ∈S tel que hj(e) < 7 uploads/Philosophie/ correction-td1-2020.pdf