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la création des nombres Richard DEDEKIND 1854, 1872, 1876, 1887, 1888, 1890, 18

la création des nombres Richard DEDEKIND 1854, 1872, 1876, 1887, 1888, 1890, 1876-1890, 1899 éd° Vrin (2008) coll. Mathesis introduction, traduction et notes par Hourya BENIS SINACEUR 14 histoire du terme ensemble System : ce terme est rendu par le terme “ensemble” dans l'article en français « Sur la théorie des nombres algébriques ». Néanmoins, je traduis par “système” pour respecter le choix préférentiel de Dedekind, qui utiliser parfois “Menge” (Nombre, 1re préface), et signale, à l'occasion de la définition de “System”, les synonymes “Inbegriff” (collection), “Manigfaltigkeit” '(multiplicité) et “Gesamtheit” (totalité, tout). Le terme “Menge”, utilisé par Bolzano et Cantor, s'imposa par la suite, notamment grâce au manuel de Hausdorff, Grundzüge der Mengelehre (1914). Introduction à Continuité 23 trois définitions des réels Continuité et nombres irrationnels expose une des trois méthodes conçues à la fin du XIXe siècle pour une [définition rigoureuse des nombres réels]. La première en date, publiée en 1869, est celle de Charles Méray (1835-1911). Georg Cantor (1845- 1918à découvre indépendamment en 1870 une théorie basée sur les mêmes principes. Exposée d'abord par Heinrich Heine (1821-1881° en 1872 dans l'article cité par Dedekind dans sa préface, elle est publiée la même année par Cantor. Dedekind précise que c'est l'article de Heine qui l'a décidé à publier Continuité et qu'il a reçu l'article de Cantor tandis que, son achevé, il en rédigeait la préface. Du reste, la première rédaction de Continuité, éditée seulement en 1976, ne mentionne que l'article de Heine. La deuxième théorie est celle de Karl Weierstraβ (1815-1897) , élaborée en 1863, mais publiée pour la première fois en 1872 par E. Kossak. Ayant été l'élève de Weierstraβ, Cantor connaissait cette théorie avant d'en concevoir une similaire à celle de M2ray. Dedekind ne fait ici mention ni de Méray ni de Weierstraβ, qui sera cependant évoqué en 1887, dans la première préface à Nombres. Par ailleurs, Dedekind précise dès les premières lignes de sa préface à Continuité qu'il a conçu sa propre théorie dès 1858, c'est-à-dire indépendamment des autres. De fait, elle en est singulièrement différente. 23 fondement géométrique des réels ? Ce n'est pas que l'intuition géométrique doive être totalement rejetée ; elle peut être une source d'inspiration ou servir un objectif pédagogique, mais elle est disqualifiée en tant que fondement scientifique de notions arithmétiques. 27 théorie des ensembles : Dedekind avant Cantor La contribution de Dedekind à la constitution de la théorie des ensembles est fondamentale, et même antérieure à celle de Cantor. Il faut par ailleurs rappeler que des développements important de cette théorie par Cantor sont indissociables de la rencontre de ce dernier avec Dedekind à Zürich. 33-35 Dedekind baptise les irrationnels et réels : nombres Dedekind est le premier à parler de « nombre irrationnel » et de « nombre réel », même si on peut rétrospectivement faire remonter les premières ébauches, non thématisées et non justifiées, d'arithmétique du continu aux algébristes arabes et notamment à Al-Karajî (≈ 953, ≈ 1029). Même Weierstraβ et Cantor parlent encore de « grandeur irrationnelle » ou de « grandeur numérique » [Zahlengrösse], et s'appuient fondamentalement sur le concept de limite. L'expression “nombre réel” indique suffisamment par elle-même l'objectif de Dedekind de fonder les procédés de l'analyse réelle sur un concept purement arithmétique, un concept qui soit logiquement antérieur aux notions de variation, de limite et de convergence, et donc définir indépendamment d'elles et pouvant servir, inversement, à les définir. […] […] La preuve du théorème de la valeur intermédiaire (1817), remarquable mais alors pas ou peu connue, de Bernhard Bolzano, est historiquement le premier emblème de cette entreprise [d'arithmétisation de l'analyse], car on y trouve une définition des notions de limite d'une suite et de continuité d'une fonction en termes de nombres et d'inégalités comme cela se fait aujourd’hui dans les traités d'analyse. 36 genèse du terme corps footnote : [Le terme corps] est introduit et défini par Dedekind en 1871 dans le § 159 du Xe Supplément à la seconde édition des Leçons sur la théorie des nombres algébriques de Dirichlet. 37 principe de continuité est créé, défini Ce principe de continuité [qui associe un nombre réel à toute coupure dans les rationnels] « correspond » à la représentation géométrique intuitive de la droite qu'avaient la plupart des analystes ; mais Dedekind lui donne la forme d'un énoncé explicite précisément parce qu'il récuse cette conception d'une continuité intuitive. Pour lui il s'agit d'un axiome, donc indémontrable, qui permet de penser la continuité dans la droite. Le continu mathématique est conçu, et non perçu : on ne voit pas la continuité, d'une ligne, on la pense, on la définit par un principe ou un théorème, et en mathématiques il n'y a, en toute rigueur, rien que des principes et des théorèmes. […] Il n'est pas davantage l'expression d'une intuition, mais la création, la définition d'un concept. 39-40 continuité n'est pas géométrique toute la Géométrie d'Euclide demeure sans lacune si, ayant choisi un système de coordonnées et une unité, on ne considère comme existant que les points dont les coordonnées sont des nombres algébriques [...]. Dans la géométrie euclidienne, si longtemps tenue pour refléter l'espace réel, la discontinuité est donc partout présente, bien qu'elle ne soit pas perçue. Rien dans les axiomes ni dans les assomptions implicites d'Euclide ne nous conduit logiquement à la continuité. L'idée est d'autant plus importante qu'elle paraît contre-intuitive. Il est donc vain d'espérer trouver dans la géométrie euclidienne un concept rigoureux de la continuité. 44 nombres & rapports Observant judicieusement qu'Euclide n'emploie jamais comme synonymes les termes “λόγός” et “ἀριθμός”. Dedekind soutient qu'Euclide ne visait d'ailleurs pas à fonder les nombres irrationnels sur les rapports de grandeurs, comme l'ont fait, au XIXe siècle, nombre de ses contemporains. 50 Cantor anticipe les métriques ce n'est pas seulement le bon enchaînement mais aussi les notions utilisées ou définies par Cantor pour caractériser le continu arithmétique qui sont d'ordre m'étrique. Elles s'appliquent à des espaces sur lesquels on a implicitement admis, comme c'était le cas dans l'Analyse réelle classique, ou explicitement défini, comme il l'a fit lui-même, une distance. [footnote : Cantor a donc anticipé le concept générale d'espace métrique, formellement introduit par Maurice Fréchet (1878-1973) en 1906 ; la désignation est due à Felix Hausdorff, Grundzüge der Mengelehre, 1914.] 51-52 deux premières : principe de maximalité & reverse mathematics Dedekind désigne sa complétude comme propriété d'une structure algébrique ordonnée inextensible. Les réels sont l'extension maximale (unique à un isomorphisme près) du corps des nombres rationnels préservant la structure de corps et l'ordre total familier de ce corps. Cette définition est conceptuellement tout à fait remarquable, car elle présente, pour la première fois dans l'histoire des mathématiques, un argument en termes de maximalité ou d'inextensibilité d'une certaine structure et permet de discerner dans le corps des nombres réels une structure d'ordre total indépendante de sa structure métrique. Ou encore, on peut traiter algébriquement de l'ordre sans recours à la métrique. […] pour emprunter les termes d'une perspective récente, en prouvant l'équivalence de son principe de continuité avec le théorème sur la limite de toute suite croissante majorée de nombres rationnels, Dedekind a fourni le premier exemple de la démarche caractéristique de ce que l'on appelle les « reverse mathematics ». Cette démarche consiste à remonter d'un théorème habituel aux axiomes ensemblistes d'existence nécessaires à sa preuve, puis à « renverser » le cours du processus en prouvant, avec les moyens offerts par les seuls axiomes dégagés, que ledit théorème est équivalent à l'ensemble de ces axiomes, c'est-à-dire en prouvant que ceux-ci sont suffisants à la démonstration du théorème. Il s'agit, en fait, d'une forme moderne, avec considération de la théorie des ensembles, de l'analyse et de la synthèse des Anciens. 55 ligne et surface jamais homéomorphes c'est Dedekind qui détecte que la bijection qui applique un continu à deux dimensions (une surface) sur un continu linéaire n'est pas continue, c'est-à-dire en termes actuels que ce n'est pas un homéomorphisme. Continuité et nombres irrationnels (1872) 59/65 intuition géométrique des réels notamment pour démontrer le théorème selon lequel toute grandeur constamment croissante, mais pas au-delà de toute limite, approche certainement et nécessairement une valeur limite, je chercherai refuge dans les évidences géométriques. Aujourd’hui encore, un tel appel à l'intuition géométrique dans les premières leçons de Calcul différentiel me semble extrêmement utile du point du vue didactique, et même indispensable si l'on ne veut pas perdre trop de temps. Mais personne ne le niera, cette manière d'introduire au Calcul différentiel ne peut prétendre à la scientificité. [...] […] le système R constitue un domaine totalement ordonné, unidimensionnel, infini dans les directions opposées. Ce que l'on veut dire par là est suffisamment indiqué par le choix des expressions empruntées à des représentations géométriques ; aussi est-il d'autant plus nécessaire de mettre en relief les caractéristiques purement arithmétiques correspondantes, afin qu'il ne subsiste pas la moindre apparence que l'arithmétique aurait besoin de ce genre de représentations, qui lui sont étrangères. 62-63 création de l'arithmétique via l'itération compter même n'est rien d'autre que la création successive de la suite uploads/Philosophie/ rdcreation-nombres 1 .pdf