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Le XX e siècle aura été un siècle extraordinairement fécond du point de vue mat

Le XX e siècle aura été un siècle extraordinairement fécond du point de vue mathématique. Trois théorèmes importants apparaissent : d'une part le théorème de Gödel ; d'autre part la démonstration de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil qui entraîna la démonstration du dernier théorème de Fermat ; enfin la démonstration des conjectures de Weil par Pierre Deligne, ces deux derniers résultats conséquences des innovations importantes en géométrie algébrique, dues à Grothendieck. De nouveaux domaines de recherche sont nés ou se sont développés : les systèmes dynamiques, à la suite des travaux de Poincaré, les probabilités, la topologie, la géométrie différentielle, la logique, la géométrie algébrique, à la suite des travaux de Grothendieck ... La communauté mathématique explose[modifier | modifier le code]  Le métier de mathématicien a réellement commencé à se professionnaliser à la fin du XIX e siècle . Grâce à la mondialisation des connaissances, aux progrès des transports, puis aux moyens électroniques de communication, la recherche mathématique n'est plus localisée sur un pays ou un continent. Depuis la fin du XIXe siècle, de nombreux colloques, congrès, séminaires, se tiennent à un rythme soutenu, voire annuellement.  Hormis deux congrès qui se sont tenus au XIX e siècle , vingt et un congrès internationaux de mathématiques se sont tenus au XX e siècle , un presque tous les quatre ans malgré les interruptions dues aux guerres mondiales.  L'apparition de l'ordinateur a sensiblement modifié les conditions de travail des mathématiciens à partir des années 1980.  Le développement mathématique a explosé depuis 1900. Au XIX e siècle , on estime qu'on publiait environ 900 mémoires par an. Actuellement plus de 15 000. Le nombre des mathématiciens est ainsi passé de quelques centaines ou milliers à plus d'un million et demi en moins d'un siècle[réf. nécessaire].  On a soutenu 292 thèses d'État de mathématiques entre 1810 et 1901 en France52. À la fin du XX e siècle , c'est le nombre de thèses soutenues annuellement. Algèbre[modifier | modifier le code] Wedderburn est surtout connu pour avoir démontré que tout corps fini est commutatif. Leonard Eugene Dickson commence l'étude systématique des corps finis53 et obtient la première classification des corps finis commutatifs. La structure de l'anneau des polynômes associé y est explicitée. Avec Joseph Wedderburn, en 1905, il démontre qu'il n'existe pas de corps fini non commutatif. Mécanique[modifier | modifier le code] Le congrès Solvay de 1927 a réuni les meilleurs physiciens de l'époque.  Édouard Husson , dans sa thèse soutenue en 1906, résout définitivement le problème des intégrales premières de la mécanique classique pour le mouvement d'un solide autour d'un point fixe. Il n'y a que quatre intégrales premières possibles, la quatrième n'apparaissant que dans trois cas particuliers, le mouvement d'Euler-Poinsot, celui de Lagrange-Poisson et enfin celui de Sophie Kowaleski. L'intégration complète par quadrature est donc possible dans ces trois cas. Cependant Goriatchoff montre que l'intégration est aussi possible dans le cas de conditions initiales particulières, et un second cas est indiqué par Nicolaus Kowalevski en 1908.  La mécanique devient l'objet d'études poussées. Poincaré et Einstein publient une mécanique qui ne renferme la mécanique newtonienne qu'en y faisant tendre la célérité c de la lumière vers l'infini. La transformation de Galilée laisse sa place à la transformation de Lorentz. Et une nouvelle généralisation, une théorie de la gravitation, prend le nom de théorie de la relativité générale, entre 1909 et 1916, utilisant les développements récents de la géométrie différentielle intrinsèque (énoncée par Tullio Levi-Civita en 1900).  Alors que Bruns avait démontré en 1887 que toute nouvelle intégrale première du problème des trois corps était nécessairement une combinaison des dix intégrales premières déjà connues et que Poincaré avait montré en 1889 la divergence des séries utilisées comme solutions du problème (séries de Lindstedt) et même le caractère chaotique des solutions, Sundman, en 1909, résout le problème des trois corps en donnant une série analytique convergente pour tout temps.  La relativité générale permet de théoriser l'univers dans son ensemble, la cosmologie moderne est née. L'univers statique d'Einstein et celui de De Sitter sont bientôt accompagnés par des univers en évolution régis par les équations de Friedman, aidé par les recherches de Hubble et Humason qui viennent de découvrir qu'un décalage vers le rouge systématique trahit une expansion de l'Univers.  En 1900, Max Planck cherchant un modèle rendant compte correctement du phénomène du corps noir, introduit une constante signifiant que l'échange d'énergie entre les ondes lumineuses et la matière se fait de manière discontinue. Cette constante permet d'écrire des formules qui donnent des résultats en accord avec les mesures expérimentales (par exemple le modèle de Bohr en 1913), sans que personne en comprenne la cohérence avec les principes de base de la physique. En 1924, Louis de Broglie, partant de l'idée de l'identité entre le principe de Fermat pour les ondes et le principe de moindre action de Maupertuis pour les corps matériels (la constante de Planck homogénéisant les dimensions), associe à toute particule une onde Ψ, et retrouve ainsi plusieurs résultats expérimentaux. L'école de Copenhague interprète les relations d'incertitudes d'Heisenberg comme une invitation à considérer le module de l'onde Ψ comme une probabilité d'état (position, vitesse, etc) de la particule, rompant avec un déterminisme total qui étaient l'apanage de la mécanique de Newton et dont Einstein sera le défenseur acharné dans le paradoxe Einstein-Podolski-Rosen. Les notions de base de la physique (particule, matière, position, force, etc) perdent rapidement leurs caractères intuitifs car leurs propriétés, décrites par les mathématiques, transgressent les visualisations géométriques. La mécanique quantique utilise intensément les équations différentielles, puis, à partir de la seconde quantification de Dirac, nécessite l'utilisation et le développement de la théorie des opérateurs. À partir des années 1960, l'essentiel des résultats de la physique des particules est théorisé à partir des groupes et algèbres de Lie. Les différentes tentatives d'unification de la relativité générale et de la physique quantique sont autant d'échecs au point qu'on désespère de trouver cette théorie unitaire qui réconcilierait les deux mondes. La théorie pentadimensionnelle de Kaluza-Klein, la théorie d'Einstein de 1931, la théorie de la double solution de De Broglie, la théorie cinématique de Milne, les spéculations d'Eddington sur le nombre 137, la théorie de Bondi et Gold… apportent chacune une idée nouvelle, géométrique en général, mais qui ne résolvent pas le problème de l'incompatibilité des deux mécaniques. Les auteurs, surtout des physiciens, se lancent à corps perdu dans une algébrisation de leurs théories qui débouchent sur la théorie des cordes, la théorie M… qui sont encore loin de résoudre toutes les questions posées. La géométrie non commutative, développée à partir de la théorie des opérateurs, est une autre piste suivie par certains. Analyse[modifier | modifier le code]  Le siècle commence par la thèse de Lebesgue Intégrale, longueur, aire qui constitue vraiment le début de la théorie de la mesure. Par la suite, de nouvelles intégrales sont créées sur les traces de Lebesgue (intégrales de Denjoy, de Perron et d'Henstock…). La théorie de la mesure finit par rejoindre la théorie des probabilités qui est axiomatisée en 1933 par Kolmogorov.  La théorie de Lebesgue mène à l'étude des espaces Lp. Et sur les traces de Hilbert, Riesz, Banach, les opérateurs différentiels sont étudiés. C'est l'occasion de créer la théorie des distributions, dont les prémisses avaient été données par Hadamard qui avait introduit les parties finies dans un problème d'hydrodynamique54. S'illustrent ainsi Gelfand, Chilov (en), Schwartz, Vekoua. L'étude des conditions de régularité des solutions des équations aux dérivées partielles permet à Sergueï Sobolev et ses continuateurs de définir ses espaces de fonctions et les théorèmes de trace en fonction des propriétés géométriques du domaine.  La théorie spectrales des opérateurs linéaires, notamment auto-adjoints, opérant dans un espace de Hilbert a été commencée par David Hilbert, dans six mémoires publiés entre 1904 et 1910. Hermann Weyl, de son côté, fit avancer la théorie des équations différentielles singulières du second ordre. John von Neumann développa le concept de l'espace de Hilbert abstrait entre 1927 et 1929, cadre dans lequel il commença l'étude des opérateurs auto-adjoints non bornés essentiellement pour les besoins de la théorie quantique naissante. Frigyes Riesz et M. H. Stone développèrent la théorie spectrale et l'étendirent aux opérateurs normaux non bornés. Des applications aux opérateurs différentiels et l'extension aux opérateurs semi-bornés symétriques furent l'œuvre de K. O. Friedrichs en 1934 et Krein en 1947.  En 1927, la théorie des corps ordonnables d'Artin-Schreier permet de clarifier la nécessité d'un argument d'analyse dans la preuve du théorème fondamental de l'algèbre, le théorème de D'Alembert-Gauss.  Abandonnés depuis le formalisme de Weierstrass, vers 1850, les infiniments petits de l'époque héroïque (XVII e siècle ) reprennent du service sous l'impulsion de Abraham Robinson en 1960 qui crée l'analyse non standard. En 1970, Nelson ajoute à l'axiomatique classique de Zermelo-Fraenkel+axiome du choix (ZFC) un nouveau prédicat qui lui permet d'interpréter l'analyse non standard de Robinson dans une théorie plus facile. Les résultats démontrés dans l'analyse non standard qui s'expriment dans ZFC seul sont alors vrais dans ZFC seul. Théorie des uploads/Philosophie/ la-communaute-mathematique-explose-modifier-modifier-le-code.pdf