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LA THÉORIE DES CORDES Alexandre Depire Institut Henri-Poincaré Théorie des Supe

LA THÉORIE DES CORDES Alexandre Depire Institut Henri-Poincaré Théorie des Supercordes 02/08/2004 TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES ......................................................................................................... 1 1. Introduction............................................................................................................................ 3 2. Les pionniers .......................................................................................................................... 4 2.1. Kaluza.............................................................................................................................. 4 La relativité restreinte......................................................................................................... 6 La relativité générale.......................................................................................................... 9 Le spin.............................................................................................................................. 20 2.2. Klein.............................................................................................................................. 23 2.3. La période d'oubli.......................................................................................................... 25 3. Les théories quantiques ........................................................................................................ 27 3.1. La mécanique quantique................................................................................................ 27 Le principe d'incertitude................................................................................................... 29 Les fluctuations du vide ................................................................................................... 34 Les bosons et les fermions ............................................................................................... 34 3.2. La théorie des champs................................................................................................... 36 Les champs en mécanique quantique............................................................................... 37 Le vide.............................................................................................................................. 38 Les champs en interaction................................................................................................ 39 La théorie des perturbations ............................................................................................. 39 La théorie des collisions................................................................................................... 41 Diagrammatique............................................................................................................... 43 3.3. La renormalisation......................................................................................................... 44 Les divergences................................................................................................................ 45 Les divergences infrarouges............................................................................................. 45 Les divergences ultraviolettes .......................................................................................... 45 Théorie des perturbations................................................................................................. 51 3.4. Les symétries................................................................................................................. 52 Symétries discrètes........................................................................................................... 52 Théorème PCT ................................................................................................................. 57 3.5. Les théories de jauge..................................................................................................... 67 Principe des théories des champs de jauge....................................................................... 67 Le cas des électrons.......................................................................................................... 68 Les champs de jauges non abéliens.................................................................................. 68 Le mécanisme de brisure de symétrie .............................................................................. 69 L'interaction faible............................................................................................................ 71 L'interaction forte............................................................................................................. 72 3.6. Les particules................................................................................................................. 74 4. Les problèmes ...................................................................................................................... 76 4.1. Les paramètres libres..................................................................................................... 76 4.2. La gravité quantique...................................................................................................... 78 4.3. Le problème de la hiérarchie......................................................................................... 82 Premier problème ............................................................................................................. 83 Deuxième problème ......................................................................................................... 83 4.4. L'interaction forte.......................................................................................................... 84 5. La théorie des cordes classiques........................................................................................... 88 5.1. Les cordes et l'interaction forte ..................................................................................... 88 © Alexandre Depire http://depire.free.fr 1/136 Théorie des Supercordes 02/08/2004 5.2. Les cordes classiques .................................................................................................... 89 5.3. Avantages et problèmes ................................................................................................ 93 Avantages......................................................................................................................... 93 Problèmes......................................................................................................................... 94 6. La première révolution......................................................................................................... 96 6.1. La super symétrie .......................................................................................................... 96 6.2. Les dimensions supplémentaires................................................................................. 102 6.3. La théorie des cordes super symétriques..................................................................... 102 6.4. Plusieurs théories......................................................................................................... 103 Théorie de type I ............................................................................................................ 105 Théories de type II.......................................................................................................... 106 Théories hétérotiques ..................................................................................................... 106 Le dilaton........................................................................................................................ 107 Les champs tensoriels de jauge...................................................................................... 108 Conclusions.................................................................................................................... 108 7. La seconde révolution ........................................................................................................ 110 7.1. Les dualités.................................................................................................................. 110 Introduction.................................................................................................................... 110 La dualité T .................................................................................................................... 114 La dualité S..................................................................................................................... 117 La seconde révolution .................................................................................................... 120 7.2. La théorie M................................................................................................................ 121 Les D-branes .................................................................................................................. 121 La dualité U.................................................................................................................... 124 La théorie M................................................................................................................... 126 7.3. Le repliement des dimensions..................................................................................... 130 © Alexandre Depire http://depire.free.fr 2/136 Théorie des Supercordes 02/08/2004 1. Introduction Le but de cette étude est d'expliquer l'historique de l'élaboration de la théorie des cordes. A cette occasion, nous présenterons, bien sûr, le contexte dans lequel cette gestation a eu lieu. Nous serons donc amenés à parler des autres théories physiques fondamentales. Celles-ci seront expliquées dans les grandes lignes en mettant l'accent sur les aspects intéressants pour la théorie des cordes. Je n'aborderai pas les aspects expérimentaux, c'est à dire les expériences actuelles ou futures qui pourraient confirmer ou infirmer la théorie des cordes ou départager plusieurs de ses variantes. C'est un coté très intéressant mais il n'est pas nécessaire pour expliquer la théorie des cordes. Premièrement, je mets moins l'accent sur la recherche d'une théorie universelle mais plutôt sur l'aspect historique de la construction de la théorie des cordes. C'est à dire que je désire approfondir le "comment" plutôt que le "pourquoi". Bien qu'historique, il y a parfois chevauchement de certaines parties. Ceci est dû à la nécessité de regrouper certaines explications, sinon la description serait trop décousue et plus difficile à comprendre. Je donnerai quelques dates chaque fois que ce sera possible. Mais il faut aussi signaler que ces dernières années l'histoire s'est précipitée. Il y a eu un foisonnement extraordinaire d'idées et de développements théoriques sur la théorie des cordes, ce qui rend difficile une stricte chronologie. Deuxièmement, je souhaitais approfondir la description de la théorie des cordes. Avouons le, j'avais surtout envie d'écrire cette étude ! © Alexandre Depire http://depire.free.fr 3/136 Théorie des Supercordes 02/08/2004 2. Les pionniers 2.1. Kaluza Le début de l'histoire Nous voici au début de notre histoire en 1919. Quelle est la situation à cette époque ? Les théories quantiques, que nous aborderons plus tard, sont seulement en gestation. Les deux théories maîtresses sont la relativité générale d'Einstein et la théorie de l'électromagnétisme de Maxwell. Ces deux théories semblaient pouvoir tout expliquer (à quelques "détails" près comme les atomes) et avaient atteint un degré de raffinement mathématique extraordinaire. Je décrirai un peu plus loin ces deux théories. La relativité générale est la théorie qui s'applique à la gravitation. C'est à dire à la force qui fait tomber les pommes et tourner les planètes. C'est typiquement une théorie dont le domaine est les grandes échelles, disons de la taille des poussières aux galaxies. L'électromagnétisme traite, comme son nom l'indique, de l'électricité et du magnétisme. Mais c'est aussi la théorie qui s'applique à la lumière et plus généralement aux ondes radios, aux rayons X, etc. Les forces électriques et magnétiques sont très différentes de la gravitation. Cette dernière est toujours attractive. Alors que les forces électromagnétiques peuvent être répulsives, ce qui s'observe facilement avec deux aimants. Les forces électromagnétiques sont aussi considérablement plus fortes que la gravitation. Avec un simple petit aimant, on soulève facilement un morceau de fer, le soustrayant ainsi à la force de gravité qui le maintenait au sol. © Alexandre Depire http://depire.free.fr 4/136 Théorie des Supercordes 02/08/2004 Cette intensité plus grande des forces électromagnétismes explique aussi que leur domaine de prédilection s'étend à des échelles très petites. Le courant électrique, dans un fil conducteur, est du au parcours des électrons qui sont électriquement chargés. Et les électrons sont extraordinairement petits. Pour un courant de un ampère, il passe environ seize milliards de milliards d'électrons par seconde dans le conducteur ! © Alexandre Depire http://depire.free.fr 5/136 Théorie des Supercordes 02/08/2004 Enfin, même au niveau de leur description mathématique, ces deux théories sont très différentes. Le problème qui se posait à l'époque était : comment unifier les deux théories ? C'est à dire, comment obtenir une seule théorie expliquant à la fois la gravité et l'électromagnétisme ? Etait-ce seulement possible ? La solution ne semblait pas évidente quant, en 1919, Théodore Kaluza eut une idée curieuse qui va nous entraîner très loin. Mais nous y reviendrons plus loin après avoir un peu mieux décrit la relativité générale et l'électromagnétisme. La relativité restreinte La relativité d'Einstein s'exprime simplement avec deux postulats : • Les lois physiques doivent s'exprimer de la même manière pour tout observateur. • Il existe une vitesse limite à la transmission des signaux. Elle fut formulée au début du XXème siècle par Einstein. A la place d'observateur on emploie souvent le terme "repère". C'est une notion mathématique mais qui exprime tout simplement qu'un observateur donné mesure (repère) les événements qui l'entourent par rapport à lui avec des règles graduées et une horloge. Le premier postulat semble évident. Si une loi physique explique un phénomène, il est évident que cette loi est la même pour tous les observateurs. Et il est naturel de demander à ce que l'expression (mathématique) de cette loi soit également semblable (pour ce qui est de sa formulation) pour tous les observateurs. Le deuxième postulat semble moins évident. A la fin du XIXème siècle, Michelson et Morley avaient découvert que la vitesse de la lumière (dans le vide) ne dépendait pas de la direction (ce que l'on © Alexandre Depire http://depire.free.fr 6/136 Théorie des Supercordes 02/08/2004 croyait à l'époque, je ne m'étendrai pas sur ce sujet). Puis on découvrit que plus généralement cette vitesse était identique pour tout observateur. Ce postulat est donc d'origine expérimentale. Il devrait donc, en toute rigueur s'exprimer : • Il existe une vitesse (égale à celle de la lumière dans le vide) identique pour tout observateur. Que cette vitesse soit aussi une vitesse limite impossible à dépasser n'est pas très important (et c'est aussi une conséquence du reste de la théorie). Ces deux postulats ne semble pas extraordinaires et pourtant, que de conséquences ! Limitons-nous d'abord à la relativité restreinte. Celle-ci se limite à des observateurs qui se déplacent l'un par rapport à l'autre à vitesse constante. On n'aborde pas le cas des accélérations. Le problème est donc plus simple mais ici aussi les conséquences sont extraordinaires. Prenons tout simplement l'addition des vitesses. Supposons que je sois dans un train. Ce train roule à 50 kilomètres par heure. Je me déplace dans le train, par exemple dans le même sens que le train, à la vitesse de 5 kilomètres par heure. Alors, je me déplace par rapport au sol à la vitesse de 55 kilomètres par heure, c'est à dire la vitesse du train ajoutée à ma propre vitesse. Mais pour la lumière c'est faux ! © Alexandre Depire http://depire.free.fr 7/136 Théorie des Supercordes 02/08/2004 Comment expliquer ce paradoxe ? Il faut évidemment revoir notre règle d'addition des vitesses. Mais la vitesse est la mesure du déplacement d'une certaine distance au cours d'un certain temps. Donc, il faut aussi revoir nos notions de distances et de temps ! Cela se montre aisément. Pour en savoir plus, je conseille de lire LA MESURE DU TEMPS et LA MESURE DES DISTANCES. Récapitulons simplement brièvement les conséquences de la relativité restreinte. uploads/Philosophie/ la-theorie-des-cordes.pdf